Introduction

Les transformations du plan permettent de déplacer, de changer la taille ou la forme d’une figure. Deux transformations peuvent être combinées pour obtenir une nouvelle transformation appelée composition.

Composition de deux transformations

La composition de deux transformations, notée \(f \circ g\), consiste à appliquer d’abord la transformation \(g\), puis la transformation \(f\) sur le résultat.

Exemple : Si \(A\) est un point, alors :

• \( g(A) \) est le point après la première transformation,
• \( f(g(A)) \) est le point final après la composition.

Propriétés importantes

Associativité

La composition est associative : pour trois transformations \(f\), \(g\), et \(h\), on a :

\[ (f \circ g) \circ h = f \circ (g \circ h) \]

Cas particulier : transformation identité

Il existe une transformation appelée identité, notée \(Id\), qui ne change pas la figure. Pour toute transformation \(f\), on a :

\[ f \circ Id = Id \circ f = f \]

Commutativité

En général, la composition n’est pas commutative, c’est-à-dire que :

\[ f \circ g eq g \circ f \quad ext{en général} \]

Exemple concret

Considérons une rotation \( R \) d’un point de 90° autour du centre, puis une translation \( T \). La composition \( T \circ R \) correspond d’abord à faire la rotation, puis la translation. L’ordre de composition peut changer le résultat final.

Résumé

• La composition de transformations est une opération qui combine deux transformations.
• Elle est associative, mais généralement non commutative.
• Elle permet de construire des transformations plus complexes à partir de transformations simples.