Compositions, réciproques et transformations de courbes

On peut enchaîner deux fonctions comme deux machines (composition), revenir en arrière quand chaque résultat a une seule origine (réciproque), et déplacer ou étirer une courbe en modifiant simplement sa formule (transformations).

Objectifs

Calculer la somme, le produit et la composée de deux fonctions et déterminer leur ensemble de définition.
Reconnaître une fonction injective, surjective, bijective.
Justifier l'existence d'une fonction réciproque et la calculer dans les cas simples.
Tracer la courbe de la réciproque par symétrie.
Déduire la courbe de \(f(x)+b\), \(f(x-a)\), \(k\,f(x)\), \(f(kx)\), \(-f(x)\), \(f(-x)\) à partir de celle de \(f\).

1. Somme, produit et composée

Soient \(f\) définie sur \(D_f\) et \(g\) définie sur \(D_g\).

Somme : \((f+g)(x) = f(x)+g(x)\), définie sur \(D_f \cap D_g\).
Produit : \((fg)(x) = f(x)\times g(x)\), définie sur \(D_f \cap D_g\).

Exemple résolu 1

Soient \(f(x) = x - 3\) et \(g(x) = \sqrt{x}\). Calcule \(g \circ f\) et \(f \circ g\) avec leurs ensembles de définition.

\((g \circ f)(x) = g(x-3) = \sqrt{x-3}\). Il faut \(x - 3 \geq 0\), soit \(x \geq 3\) : \(D_{g \circ f} = [3\,;+\infty[\).

\((f \circ g)(x) = f(\sqrt{x}) = \sqrt{x} - 3\). Il faut \(x \geq 0\) : \(D_{f \circ g} = [0\,;+\infty[\).

Conclusion : \(g \circ f \neq f \circ g\). La composition n'est pas commutative.

Avec \(f(x) = x+1\) et \(g(x) = x^2\), que vaut \((g \circ f)(2)\) ?

On applique d'abord \(f\) : \(f(2)=3\), puis \(g\) : \(g(3)=9\). (Le résultat 5 correspond à \(f \circ g\).)

2. Injection, surjection, bijection

Soit \(f\) une fonction de \(I\) dans \(J\).

\(f\) est injective si deux nombres distincts ont toujours des images distinctes : \(x_1 \neq x_2 \Rightarrow f(x_1) \neq f(x_2)\).
\(f\) est surjective sur \(J\) si tout \(y\) de \(J\) a au moins un antécédent dans \(I\).
\(f\) est bijective de \(I\) sur \(J\) si tout \(y\) de \(J\) a exactement un antécédent dans \(I\).

La fonction \(f(x) = x^2\), considérée de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\), est :

injective
bijective
ni injective ni surjective

\(f(-1) = f(1)\) : pas injective. Un nombre négatif comme \(-4\) n'a aucun antécédent : pas surjective sur \(\mathbb{R}\).

3. La fonction réciproque

Exemple résolu 2 : calculer une réciproque

Montre que \(f(x) = 2x+3\) est une bijection de \(\mathbb{R}\) sur \(\mathbb{R}\) et calcule \(f^{-1}\).

\(f\) est affine de coefficient \(2 > 0\) : elle est continue et strictement croissante sur \(\mathbb{R}\), et ses limites sont \(-\infty\) et \(+\infty\). C'est une bijection de \(\mathbb{R}\) sur \(\mathbb{R}\).

On résout \(y = 2x + 3\) en \(x\) : \(2x = y - 3\), donc \(x = \dfrac{y-3}{2}\).

En renommant la variable : \(f^{-1}(x) = \dfrac{x-3}{2}\). Vérification : \(f^{-1}(f(1)) = f^{-1}(5) = \dfrac{5-3}{2} = 1\).

Courbe de la réciproque

Si le point \((a\,;b)\) est sur \(\mathcal{C}_f\), alors \(f(a)=b\), donc \(f^{-1}(b)=a\) : le point \((b\,;a)\) est sur \(\mathcal{C}_{f^{-1}}\). Échanger les coordonnées revient à faire une symétrie par rapport à la droite \(y = x\) (dans un repère orthonormé).

On trace la droite y = x, axe de symétrie entre une courbe et celle de sa réciproque.

Le point A(0 ; 3) de la courbe de f a pour symétrique A'(3 ; 0) : on échange abscisse et ordonnée.

En faisant de même pour tous les points, on obtient la droite y = (x − 3)/2, courbe de la réciproque.

Quelle est la réciproque de \(f(x) = 3x - 6\) sur \(\mathbb{R}\) ?

\(f^{-1}(x) = \dfrac{x+6}{3}\)
\(f^{-1}(x) = 3x+6\)
\(f^{-1}(x) = \dfrac{x}{3} - 6\)

De \(y = 3x - 6\) on tire \(x = \frac{y+6}{3}\). Vérification : \(f(4) = 6\) et \(\frac{6+6}{3} = 4\).

Dans un repère orthonormé, la courbe de \(f^{-1}\) est la symétrique de celle de \(f\) par rapport :

à l'axe des abscisses
à la droite \(y = x\)
à l'origine du repère

Le point \((a\,;b)\) devient \((b\,;a)\) : c'est la symétrie d'axe \(y = x\).

4. Transformations de courbes

On part de la courbe \(\mathcal{C}_f\) de \(y = f(x)\). Soient \(a\), \(b\) réels et \(k > 0\).

Nouvelle fonction	Transformation de \(\mathcal{C}_f\)
\(y = f(x) + b\)	translation verticale de \(b\) (vers le haut si \(b > 0\))
\(y = f(x - a)\)	translation horizontale de \(a\) (vers la droite si \(a > 0\))
\(y = k\,f(x)\)	dilatation verticale de facteur \(k\) (étirement si \(k > 1\), aplatissement si \(0 < k < 1\))
\(y = f(kx)\)	contraction horizontale de facteur \(\frac{1}{k}\) (la courbe se resserre si \(k > 1\))
\(y = -f(x)\)	réflexion par rapport à l'axe des abscisses
\(y = f(-x)\)	réflexion par rapport à l'axe des ordonnées

Manipule les curseurs : \(h\) décale horizontalement, \(k\) verticalement, \(a\) étire ou retourne la parabole \(y = x^2\), la parabole de référence restant affichée.

Exemple résolu 3

À partir de la parabole \(y = x^2\), décris la courbe de \(g(x) = -(x-2)^2 + 1\) et donne son sommet.

Voir la solution

\(x^2 \to -x^2\) : réflexion par rapport à l'axe des abscisses (la parabole est tournée vers le bas).
\(-x^2 \to -(x-2)^2\) : translation de 2 vers la droite.
\(-(x-2)^2 \to -(x-2)^2+1\) : translation de 1 vers le haut.

Le sommet \((0\,;0)\) devient \((2\,;1)\) : c'est un maximum, \(g(2) = 1\).

Comment obtient-on la courbe de \(y = f(x-3)\) à partir de celle de \(f\) ?

Par une translation de 3 unités vers la droite.
Par une translation de 3 unités vers la gauche.
Par une translation de 3 unités vers le bas.

Le point d'abscisse \(x_0\) de \(\mathcal{C}_f\) se retrouve en \(x_0+3\) : la courbe glisse vers la droite.

Erreurs fréquentes

Inverser l'ordre de la composition : \(g \circ f\) applique d'abord \(f\), puis \(g\).
Oublier la condition \(f(x) \in D_g\) dans l'ensemble de définition de \(g \circ f\).
Confondre \(f^{-1}(x)\) et \(\dfrac{1}{f(x)}\) : pour \(f(x)=2x+3\), \(f^{-1}(x)=\frac{x-3}{2}\) alors que \(\frac{1}{f(x)} = \frac{1}{2x+3}\).
Parler de réciproque sans avoir justifié la bijection (et précisé les intervalles \(I\) et \(J\)).
Décaler \(f(x-a)\) dans le mauvais sens.
Confondre \(-f(x)\) (miroir horizontal, axe des abscisses) et \(f(-x)\) (miroir vertical, axe des ordonnées).

Récapitulatif

\((g \circ f)(x) = g(f(x))\), définie si \(x \in D_f\) et \(f(x) \in D_g\) ; en général \(g \circ f \neq f \circ g\).
Bijection : chaque image a exactement un antécédent ; continue et strictement monotone sur un intervalle \(\Rightarrow\) bijection sur \(f(I)\).
Réciproque : \(f^{-1}(y) = x \iff f(x) = y\) ; sa courbe est la symétrique de \(\mathcal{C}_f\) par rapport à \(y = x\).
Transformations : \(+b\) haut/bas, \(x-a\) droite/gauche, \(k\,f\) étirement vertical, \(f(kx)\) contraction horizontale, \(-f\) et \(f(-x)\) réflexions.

g rond f

On applique f d'abord, puis g : g(f(x)).

Bijection

Chaque y de J a exactement un antécédent dans I.

Théorème de la bijection

Continue et strictement monotone sur I : bijection de I sur f(I).

Courbe de la réciproque

Symétrique de la courbe de f par rapport à la droite y = x.

Courbe de f(x − a)

Translation de a vers la droite si a est positif.

− f(x) et f(− x)

Réflexion par rapport à l'axe des abscisses ; par rapport à l'axe des ordonnées.