Compositions, réciproques et transformations : construire de nouvelles fonctions à partir d'anciennes

Classe de Terminale · Mathématiques · Thème : fonctions numériques

On peut additionner, multiplier et enchaîner des fonctions ; une bijection se « défait » grâce à sa réciproque ; et quelques changements simples dans la formule déplacent, étirent ou retournent la courbe.

Objectifs

Déterminer l'ensemble de définition d'une somme, d'un produit et d'une composée.
Calculer \(g \circ f\) et \(f \circ g\) et constater qu'elles sont en général différentes.
Reconnaître une injection, une surjection, une bijection, et déterminer une fonction réciproque.
Tracer rapidement la courbe de \(f(x - a) + b\), \(-f(x)\), \(f(-x)\), \(k f(x)\) à partir de celle de \(f\).

1. Somme, produit et composition

Somme et produit

Si \(f\) et \(g\) sont définies sur \(D_f\) et \(D_g\), alors \(f + g\) et \(f \times g\) sont définies sur \(D_f \cap D_g\) par \((f+g)(x) = f(x) + g(x)\) et \((fg)(x) = f(x)\,g(x)\). Le quotient \(\frac{f}{g}\) demande en plus \(g(x) \neq 0\).

Composition

La composée de \(f\) suivie de \(g\) est la fonction \(g \circ f\) (on lit « g rond f ») définie par

\[ (g \circ f)(x) = g\big(f(x)\big). \]

Elle est définie pour les \(x\) tels que \(x \in D_f\) et \(f(x) \in D_g\).

flowchart LR
X[x] -->|f| Y[f de x]
Y -->|g| Z[g de f de x]

Exemple résolu 1 : l'ordre compte

Soit \(f(x) = x - 3\) et \(g(x) = \sqrt{x}\). Déterminer \(g \circ f\) et \(f \circ g\) avec leurs ensembles de définition.

\(g \circ f\). \((g \circ f)(x) = g(x - 3) = \sqrt{x - 3}\). Il faut \(x - 3 \geq 0\), donc \(D_{g \circ f} = [3;+\infty[\).

\(f \circ g\). \((f \circ g)(x) = f(\sqrt{x}) = \sqrt{x} - 3\). Il faut \(x \geq 0\), donc \(D_{f \circ g} = [0;+\infty[\).

Comparaison. Pour \(x = 4\) : \((g \circ f)(4) = \sqrt{1} = 1\) mais \((f \circ g)(4) = 2 - 3 = -1\). En général, \(g \circ f \neq f \circ g\).

Avec \(f(x) = 2x + 1\) et \(g(x) = x^2\), que vaut \((g \circ f)(1)\) ?

\(3\)
\(4\)
\(9\)

On calcule d'abord \(f(1) = 3\), puis \(g(3) = 9\). (La valeur 3 serait \((f \circ g)(1) = 2 \times 1 + 1\).)

2. Injection, surjection, bijection et réciproque

Définitions

Soit \(f : E \to F\).

\(f\) est injective si deux éléments distincts ont des images distinctes : \(f(a) = f(b) \Rightarrow a = b\).
\(f\) est surjective si tout \(y\) de \(F\) a au moins un antécédent : \(\forall y \in F,\ \exists x \in E,\ f(x) = y\).
\(f\) est bijective si elle est injective et surjective : tout \(y\) de \(F\) a exactement un antécédent. On définit alors la réciproque \(f^{-1} : F \to E\) par \(f^{-1}(y) = x \iff f(x) = y\).

Théorème de la bijection (outil du programme de Terminale)

Si \(f\) est continue et strictement monotone sur un intervalle \(I\), alors \(f\) réalise une bijection de \(I\) sur l'intervalle \(f(I)\). Sa réciproque \(f^{-1}\) est continue, a le même sens de variation, et dans un repère orthonormé sa courbe est la symétrique de celle de \(f\) par rapport à la droite \(y = x\).

Exemple résolu 2 : tout dépend de l'intervalle

Soit \(f(x) = x^2\).

Voir la solution

Sur \(\mathbb{R}\), \(f\) n'est pas injective : \(f(-2) = f(2) = 4\). Elle n'est pas non plus surjective sur \(\mathbb{R}\) : \(-1\) n'a pas d'antécédent.
Sur \([0;+\infty[\), \(f\) est continue et strictement croissante : c'est une bijection de \([0;+\infty[\) sur \([0;+\infty[\). Pour \(y \geq 0\), l'équation \(x^2 = y\) avec \(x \geq 0\) a pour unique solution \(x = \sqrt{y}\). Donc \(f^{-1}(y) = \sqrt{y}\).

Exemple résolu 3 : calculer une réciproque

Soit \(f(x) = 2x + 3\) sur \(\mathbb{R}\). Déterminer \(f^{-1}\).

Bijection. \(f\) est affine de coefficient \(2 > 0\) : continue, strictement croissante, de \(\mathbb{R}\) sur \(\mathbb{R}\).

Résoudre \(y = f(x)\). \[ y = 2x + 3 \iff x = \frac{y - 3}{2}. \]

Conclure. \(f^{-1}(x) = \dfrac{x - 3}{2}\). Vérification : \(f\big(f^{-1}(x)\big) = 2 \cdot \frac{x-3}{2} + 3 = x\).

Quelle est la réciproque de \(f(x) = 3x - 6\) ?

\(x \mapsto 3x + 6\)
\(x \mapsto \dfrac{x}{3} + 2\)
\(x \mapsto \dfrac{x}{3} - 6\)

\(y = 3x - 6 \iff x = \frac{y + 6}{3} = \frac{y}{3} + 2\).

3. Transformations du graphe

Dans un repère \((O ; \vec{i}, \vec{j})\), on part de la courbe \(\mathcal{C}_f\).

Nouvelle fonction	Transformation de \(\mathcal{C}_f\)
\(x \mapsto f(x) + b\)	translation de vecteur \(b\,\vec{j}\) (vers le haut si \(b > 0\))
\(x \mapsto f(x - a)\)	translation de vecteur \(a\,\vec{i}\) (vers la droite si \(a > 0\))
\(x \mapsto -f(x)\)	symétrie par rapport à l'axe des abscisses
\(x \mapsto f(-x)\)	symétrie par rapport à l'axe des ordonnées
\(x \mapsto k\,f(x)\), \(k > 0\)	dilatation verticale de rapport \(k\) (étirement si \(k > 1\), écrasement si \(0 < k < 1\))
\(x \mapsto f(kx)\), \(k > 0\)	dilatation horizontale de rapport \(\frac{1}{k}\)

Exemple résolu 4 : de \(x^2\) à \((x-2)^2 + 1\)

Le sommet de la parabole \(y = x^2\) est en \((0 ; 0)\). Remplacer \(x\) par \(x - 2\) et ajouter 1 revient à translater de 2 vers la droite et de 1 vers le haut : le sommet va en \((2 ; 1)\).

Toute la courbe subit la même translation : on obtient la parabole \(y = (x-2)^2 + 1\), de même forme, de sommet \((2 ; 1)\).

À vous : faites varier \(a\) et \(b\) et observez le sommet de \(y = (x - a)^2 + b\).

La courbe de \(x \mapsto f(x + 3)\) s'obtient à partir de celle de \(f\) par :

la translation de vecteur \(3\vec{i}\)
la translation de vecteur \(-3\vec{i}\)
la translation de vecteur \(3\vec{j}\)

\(f(x+3) = f(x - (-3))\) : c'est une translation horizontale de \(-3\), donc vers la gauche.

Erreurs fréquentes

Récapitulatif

\((g \circ f)(x) = g(f(x))\), définie si \(x \in D_f\) et \(f(x) \in D_g\) ; en général \(g \circ f \neq f \circ g\).
Bijection : chaque image a exactement un antécédent ; continue et strictement monotone sur un intervalle suffit.
Réciproque : résoudre \(y = f(x)\) en \(x\) ; courbes symétriques par rapport à \(y = x\).
\(f(x - a) + b\) : translation de vecteur \(a\vec{i} + b\vec{j}\) ; \(-f(x)\) et \(f(-x)\) : symétries d'axes ; \(k f(x)\) : dilatation verticale.

\(g \circ f\)

\(x \mapsto g(f(x))\) : on applique \(f\) d'abord, puis \(g\).

Injective

\(f(a) = f(b) \Rightarrow a = b\) : pas deux antécédents pour une même image.

Bijective

Injective et surjective : chaque \(y\) a exactement un antécédent.

Courbe de \(f^{-1}\)

Symétrique de celle de \(f\) par rapport à la droite \(y = x\) (repère orthonormé).

\(f(x - a) + b\)

Translation de vecteur \(a\vec{i} + b\vec{j}\).