Connecteurs logiques : et, ou, implication, contraposée

Les connecteurs « et », « ou », « si… alors » permettent de construire des phrases mathématiques dont on sait dire si elles sont vraies ou fausses, et la contraposée donne une autre façon, souvent plus simple, de démontrer une implication.

Objectifs

Reconnaître une proposition et écrire sa négation.
Utiliser les connecteurs « et » et « ou » avec leurs tables de vérité, et nier une conjonction ou une disjonction (lois de De Morgan).
Comprendre l'implication \(P \Rightarrow Q\), sa réciproque et l'équivalence.
Utiliser la contraposée pour démontrer une implication.

1. Propositions et négation

Une proposition est un énoncé mathématique qui est soit vrai (V), soit faux (F), jamais les deux. « Quelle heure est-il ? » n'est pas une proposition.

La négation de \(P\), notée « non \(P\) » ou \(\overline{P}\), est vraie quand \(P\) est fausse, et fausse quand \(P\) est vraie.

\(P\) : « \(x > 3\) » ; non \(P\) : « \(x \leqslant 3\) » (et non pas « \(x < 3\) »).
\(P\) : « tous les élèves de la classe ont un cahier » ; non \(P\) : « au moins un élève n'a pas de cahier ».

Quelle est la négation de « \(x \geqslant -1\) » ?

\(x \leqslant -1\)
\(x < -1\)
\(x > -1\)

« \(x \geqslant -1\) » est faux exactement quand \(x < -1\). Le cas \(x = -1\) rend la proposition vraie, il ne fait donc pas partie de la négation.

2. Les connecteurs « et » et « ou »

« \(P\) et \(Q\) » est vraie seulement quand \(P\) et \(Q\) sont toutes les deux vraies.

« \(P\) ou \(Q\) » est vraie quand au moins une des deux est vraie. En mathématiques, le « ou » est inclusif : il est vrai aussi quand les deux sont vraies.

\(P\)	\(Q\)	\(P\) et \(Q\)	\(P\) ou \(Q\)
V	V	V	V
V	F	F	V
F	V	F	V
F	F	F	F

On peut voir \(P\) et \(Q\) comme deux ensembles de cas où elles sont vraies. Place chaque nom sur la bonne zone du schéma :

« \(P\) et \(Q\) » correspond à la zone commune ; « \(P\) ou \(Q\) » à toute la surface couverte par les deux cercles.

Négation : les lois de De Morgan

\[\text{non}\,(P \text{ et } Q) = (\text{non } P) \text{ ou } (\text{non } Q) \qquad \text{non}\,(P \text{ ou } Q) = (\text{non } P) \text{ et } (\text{non } Q)\]

Exemple résolu

Écris la négation de « \(x > 2\) et \(x < 5\) », c'est-à-dire « \(x \in \,]2\,;5[\) ». Cherche d'abord.

On applique De Morgan : non (\(P\) et \(Q\)) = (non \(P\)) ou (non \(Q\)).

non « \(x > 2\) » donne « \(x \leqslant 2\) » ; non « \(x < 5\) » donne « \(x \geqslant 5\) ».

Négation : « \(x \leqslant 2\) ou \(x \geqslant 5\) », soit \(x \in \,]-\infty\,;2] \cup [5\,;+\infty[\).

\(P\) : « 6 est pair » (vraie), \(Q\) : « 6 est divisible par 4 » (fausse). Que valent « \(P\) et \(Q\) » et « \(P\) ou \(Q\) » ?

« \(P\) et \(Q\) » est fausse, « \(P\) ou \(Q\) » est vraie
Les deux sont vraies
Les deux sont fausses

Pour « et », il faudrait que les deux soient vraies : ce n'est pas le cas. Pour « ou », une seule vraie suffit : \(P\) est vraie.

3. L'implication et sa réciproque

L'implication « \(P \Rightarrow Q\) » se lit « si \(P\), alors \(Q\) ». Elle est fausse uniquement quand \(P\) est vraie et \(Q\) est fausse.

\(P\)	\(Q\)	\(P \Rightarrow Q\)
V	V	V
V	F	F
F	V	V
F	F	V

Quand \(P \Rightarrow Q\) est vraie, on dit que \(P\) est une condition suffisante pour \(Q\), et que \(Q\) est une condition nécessaire pour \(P\).

La réciproque de \(P \Rightarrow Q\) est \(Q \Rightarrow P\). Elle n'a pas forcément la même valeur de vérité.

« Si Awa habite à Abidjan, alors elle habite en Côte d'Ivoire » : vraie.
Réciproque : « Si Awa habite en Côte d'Ivoire, alors elle habite à Abidjan » : fausse (elle peut habiter à Bouaké).

Quand une implication et sa réciproque sont toutes deux vraies, on a une équivalence : \(P \Leftrightarrow Q\) (« \(P\) si et seulement si \(Q\) »).

Exemple : pour un réel \(x\), \(x^2 = 9 \Rightarrow x = 3\) est fausse (contre-exemple \(x = -3\)), mais \(x = 3 \Rightarrow x^2 = 9\) est vraie.

L'implication « Si \(n\) est divisible par 4, alors \(n\) est pair » est vraie. Que dire de sa réciproque ?

Elle est vraie aussi, toujours
On ne peut rien dire
Elle est fausse : 6 est pair mais n'est pas divisible par 4

La réciproque est « si \(n\) est pair, alors \(n\) est divisible par 4 ». Le contre-exemple \(n = 6\) suffit à la rendre fausse.

4. La contraposée

La contraposée de \(P \Rightarrow Q\) est :

\[(\text{non } Q) \Rightarrow (\text{non } P)\]

flowchart LR
A[Implication P donne Q] --> B[Reciproque Q donne P]
A --> C[Contraposee non Q donne non P]
C --> D[Meme valeur de verite que l implication]
B --> E[Valeur de verite a verifier]

Exemple résolu : démontrer par contraposition

Démontre que, pour tout entier \(n\) : si \(n^2\) est pair, alors \(n\) est pair. Cherche d'abord pourquoi la méthode directe est difficile.

Méthode directe difficile : savoir que \(n^2\) est pair ne donne pas facilement d'écriture de \(n\). On démontre donc la contraposée : « si \(n\) est impair, alors \(n^2\) est impair ».

Si \(n\) est impair, il existe un entier \(k\) tel que \(n = 2k + 1\).

Alors \(n^2 = (2k+1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2 + 2k) + 1\).

Comme \(2k^2 + 2k\) est un entier, \(n^2\) est de la forme \(2m + 1\) : il est impair. La contraposée est vraie, donc l'implication de départ aussi.

Exemple résolu : écrire réciproque et contraposée

Pour l'implication « Si un quadrilatère est un carré, alors ses diagonales ont la même longueur », écris la réciproque et la contraposée, et donne leur valeur de vérité.

Voir la solution

Réciproque : « Si un quadrilatère a des diagonales de même longueur, alors c'est un carré. » Fausse : un rectangle non carré a des diagonales de même longueur.

Contraposée : « Si les diagonales d'un quadrilatère n'ont pas la même longueur, alors ce n'est pas un carré. » Vraie, comme l'implication de départ.

Quelle est la contraposée de « Si \(x = 2\), alors \(x^2 = 4\) » ?

Si \(x^2 = 4\), alors \(x = 2\)
Si \(x^2 \neq 4\), alors \(x \neq 2\)
Si \(x \neq 2\), alors \(x^2 \neq 4\)

On nie la conclusion et on la met en hypothèse : (non \(Q\)) \(\Rightarrow\) (non \(P\)). La réponse 1 est la réciproque ; la réponse 3 est fausse (contre-exemple \(x = -2\)).

Quelle est la négation de « \(P \Rightarrow Q\) » ?

\(P\) et (non \(Q\))
(non \(P\)) \(\Rightarrow\) (non \(Q\))
\(Q \Rightarrow P\)

L'implication est fausse uniquement quand \(P\) est vraie et \(Q\) fausse : sa négation est donc « \(P\) et (non \(Q\)) ».

Erreurs fréquentes

Nier une inégalité stricte en oubliant le cas d'égalité : non (\(x > 3\)) est \(x \leqslant 3\).
Nier « \(P\) et \(Q\) » par « non \(P\) et non \(Q\) » : il faut « non \(P\) ou non \(Q\) ».
Prendre le « ou » mathématique pour un « ou bien » exclusif.
Croire qu'une implication vraie a forcément une réciproque vraie.
Confondre la contraposée (non \(Q \Rightarrow\) non \(P\)) avec (non \(P \Rightarrow\) non \(Q\)).

Récapitulatif

« \(P\) et \(Q\) » : vraie si les deux sont vraies. « \(P\) ou \(Q\) » : vraie si au moins une est vraie (ou inclusif).
De Morgan : non (\(P\) et \(Q\)) = non \(P\) ou non \(Q\) ; non (\(P\) ou \(Q\)) = non \(P\) et non \(Q\).
\(P \Rightarrow Q\) est fausse seulement si \(P\) est vraie et \(Q\) fausse ; sa négation est « \(P\) et non \(Q\) ».
La réciproque \(Q \Rightarrow P\) peut être fausse ; si les deux sont vraies : \(P \Leftrightarrow Q\).
La contraposée (non \(Q\)) \(\Rightarrow\) (non \(P\)) a toujours la même valeur de vérité que \(P \Rightarrow Q\).

Le « et »

Vrai seulement si les deux propositions sont vraies.

Le « ou »

Vrai si au moins une proposition est vraie (ou inclusif).

Lois de De Morgan

En niant, « et » devient « ou » et « ou » devient « et ».

Implication \(P \Rightarrow Q\)

Fausse uniquement si \(P\) vraie et \(Q\) fausse.

Réciproque

\(Q \Rightarrow P\) : à vérifier séparément, elle peut être fausse.

Contraposée

(non \(Q\)) \(\Rightarrow\) (non \(P\)) : toujours la même valeur de vérité que \(P \Rightarrow Q\).