Construction de segments à la règle et au compas
Construction de segments à la règle et au compas
Avec une règle on trace un segment, et avec un compas on reporte une longueur sans la mesurer : comme un tailleur qui prend une mesure avec son ruban pour la reporter sur le tissu, on peut ainsi copier un segment, additionner des longueurs et trouver le milieu.
Objectifs
- Utiliser correctement les notations \([AB]\), \(AB\), \((AB)\) et \([AB)\).
- Tracer un segment de longueur donnée avec la règle graduée.
- Reporter une longueur au compas et construire un segment de même longueur.
- Construire un segment dont la longueur est une somme ou une différence de deux longueurs.
- Construire le milieu d'un segment et sa médiatrice à la règle et au compas.
1. Rappels : segment, longueur et notations
- Le segment \([AB]\) est la portion de droite comprise entre les points \(A\) et \(B\) : ses extrémités.
- La longueur de ce segment se note \(AB\) (sans crochets) : c'est un nombre, par exemple \(AB = 5\,\text{cm}\).
- La droite \((AB)\) passe par \(A\) et \(B\) et ne s'arrête pas.
- La demi-droite \([AB)\) commence en \(A\), passe par \(B\) et continue sans fin.
Que désigne l'écriture \(AB\) sans crochets ni parenthèses ?
2. Tracer un segment de longueur donnée à la règle
- Placer un point \(A\).
- Poser la règle en mettant la graduation \(0\) exactement sur \(A\).
- Marquer le point \(B\) en face de la graduation voulue, puis tracer \([AB]\).
- Nommer et coder : écrire la longueur à côté du segment.
3. Reporter une longueur au compas
On veut construire un segment \([CD]\) de même longueur que \([AB]\), sans utiliser les graduations. Suis la construction étape par étape.
On pique la pointe du compas sur A et on ouvre jusqu'à ce que la mine touche B : l'écartement du compas vaut AB.
On trace une demi-droite d'origine C, sans toucher au compas.
On pique la pointe sur C et on trace un petit arc qui coupe la demi-droite : le point d'intersection est D.
Le segment [CD] a la même longueur que [AB] : on l'a copié sans lire de graduation.
Exemple résolu : somme et différence de longueurs
On donne \(AB = 7\,\text{cm}\) et \(CD = 3\,\text{cm}\). Construis \([EF]\) tel que \(EF = AB + CD\), puis \([GH]\) tel que \(GH = AB - CD\). Cherche d'abord, puis dévoile les étapes.
Pour copier un segment \([AB]\) au compas, quelle est la première chose à faire ?
4. Le milieu et la médiatrice d'un segment
Méthode 1, à la règle graduée : on mesure \(AB\), on divise par 2 et on place \(M\) à cette distance de \(A\). Par exemple, si \(AB = 7\,\text{cm}\), alors \[AM = \frac{7}{2} = 3{,}5\,\text{cm}.\]
Méthode 2, à la règle et au compas (plus précise, sans graduation) : on construit la médiatrice de \([AB]\), la droite perpendiculaire à \([AB]\) qui passe par son milieu.
Pointe en A, on ouvre le compas un peu plus que la moitié de AB et on trace un grand arc au-dessus et au-dessous du segment.
Sans changer l'écartement, pointe en B, on trace un second arc : il coupe le premier en deux points.
On trace la droite qui passe par ces deux points : c'est la médiatrice de [AB], perpendiculaire à [AB].
Elle coupe [AB] en son milieu M : on code AM = MB avec deux petits traits identiques.
Exemple résolu
Le segment \([AB]\) mesure \(6\,\text{cm}\). Peut-on construire sa médiatrice avec un écartement de compas de \(2\,\text{cm}\) ? de \(4\,\text{cm}\) ?
Voir la solution
La moitié de \(AB\) vaut \[\frac{6}{2} = 3\,\text{cm}.\] Avec \(2\,\text{cm}\), on a \(2 < 3\) : les arcs ne se coupent pas, la construction est impossible. Avec \(4\,\text{cm}\), on a \(4 > 3\) : les arcs se coupent en deux points et on peut tracer la médiatrice.
Le segment \([EF]\) mesure \(9\,\text{cm}\). Où se trouve son milieu \(M\) ?
Erreurs fréquentes
- Écrire \([AB] = 5\,\text{cm}\) au lieu de \(AB = 5\,\text{cm}\).
- Commencer la mesure au bord de la règle au lieu de la graduation \(0\).
- Modifier l'écartement du compas entre les deux arcs de la médiatrice : les deux rayons doivent être égaux.
- Prendre un écartement inférieur à la moitié du segment : les arcs ne se coupent pas.
- Oublier de coder la figure (petits traits pour les longueurs égales).
Récapitulatif
- \([AB]\) : le segment ; \(AB\) : sa longueur ; \((AB)\) : la droite ; \([AB)\) : la demi-droite.
- Règle graduée : on part de la graduation \(0\) pour tracer une longueur donnée.
- Compas : il reporte une longueur sans mesure ; on peut ainsi construire des sommes et des différences de longueurs.
- Milieu : \(AM = MB = \frac{AB}{2}\) ; on le construit avec la médiatrice (deux arcs de même rayon, plus grand que la moitié de \(AB\)).
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