Construire de nouvelles fonctions pas à pas : opérations, composée, réciproque et transformations

Mathématiques · Terminale · Thème : fonction numérique

À partir de fonctions connues, on en fabrique de nouvelles en les additionnant, en les multipliant, en les enchaînant ou en les « défaisant », et on déplace leur courbe par des translations, des dilatations et des symétries.

Objectifs

Calculer une somme, un produit et une composée de fonctions, avec leur ensemble de définition.
Décomposer une fonction en enchaînement de fonctions simples.
Reconnaître une fonction injective, surjective, bijective, et justifier l'existence d'une réciproque.
Déterminer une réciproque et tracer sa courbe par symétrie.
Obtenir la courbe de \(x\mapsto k\,f(x)\), \(f(kx)\), \(f(x-a)+b\), \(-f(x)\) ou \(f(-x)\) à partir de celle de \(f\).

Étape 1 : somme et produit de fonctions

Soient \(f\) et \(g\) définies respectivement sur \(D_f\) et \(D_g\). Sur \(D_f\cap D_g\), on définit

\[ (f+g)(x)=f(x)+g(x),\qquad (f\times g)(x)=f(x)\times g(x),\qquad \left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{f(x)}{g(x)}\ \text{ si } g(x)\neq0. \]

Exemple résolu 1

Soit \(f(x)=\sqrt{x}\) et \(g(x)=\dfrac{1}{x-3}\). Cherche d'abord l'ensemble de définition de \(f+g\).

Voir la solution

\(D_f=[0\,;+\infty[\) et \(D_g=\mathbb{R}\setminus\{3\}\). Donc \(D_{f+g}=[0\,;3[\,\cup\,]3\,;+\infty[\) et \((f+g)(x)=\sqrt{x}+\dfrac{1}{x-3}\).

Étape 2 : la composée, une chaîne de machines

flowchart LR
A[x] -->|f| B[f de x]
B -->|g| C[g de f de x]

Exemple résolu 2 : l'ordre compte

Soit \(f(x)=x+3\) et \(g(x)=x^2\). Cherche d'abord \(g\circ f\) et \(f\circ g\).

\((g\circ f)(x)=g(x+3)=(x+3)^2=x^2+6x+9\).

\((f\circ g)(x)=f(x^2)=x^2+3\).

Pour \(x=1\) : \((g\circ f)(1)=16\) mais \((f\circ g)(1)=4\). En général \(g\circ f\neq f\circ g\).

Exemple résolu 3 : décomposer et trouver le domaine

Soit \(h(x)=\sqrt{2x-4}\). Cherche d'abord deux fonctions simples \(u\) et \(v\) telles que \(h=v\circ u\), puis le domaine de \(h\).

Voir la solution

On pose \(u(x)=2x-4\) (on calcule d'abord) et \(v(X)=\sqrt{X}\) (on prend ensuite la racine). Alors \(h=v\circ u\).

\(h(x)\) existe si et seulement si \(u(x)\in D_v=[0\,;+\infty[\), c'est-à-dire \(2x-4\geq0\iff x\geq2\). Donc \(D_h=[2\,;+\infty[\).

Avec \(f(x)=2x\) et \(g(x)=x-5\), que vaut \((f\circ g)(x)\) ?

\(2x-5\)
\(2x-10\)
\(2x^2-10x\)

On applique d'abord \(g\), puis \(f\) : \(f(g(x))=2(x-5)=2x-10\). La réponse \(2x-5\) correspond à \(g\circ f\).

Étape 3 : injective, surjective, bijective

Soit \(f\) une fonction de \(I\) dans \(J\).

\(f\) est injective si deux nombres différents ont toujours des images différentes : \(f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow x_1=x_2\). Tout élément de \(J\) a au plus un antécédent.
\(f\) est surjective sur \(J\) si tout élément de \(J\) a au moins un antécédent dans \(I\).
\(f\) est bijective de \(I\) sur \(J\) si elle est injective et surjective : tout \(y\in J\) a exactement un antécédent.

Exemple résolu 4 : la fonction carré

De \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\) : elle n'est pas injective car \((-2)^2=2^2=4\) ; elle n'est pas surjective car \(-1\) n'a aucun antécédent (un carré n'est jamais négatif).

De \([0\,;+\infty[\) dans \([0\,;+\infty[\) : elle est strictement croissante donc injective, et tout \(y\geq0\) a l'antécédent \(\sqrt{y}\) : elle est bijective.

Conclusion : la même formule peut être bijective ou non selon les ensembles de départ et d'arrivée choisis.

Laquelle de ces fonctions est une bijection de \(\mathbb{R}\) sur \(\mathbb{R}\) ?

\(x\mapsto x^2\)
\(x\mapsto |x|\)
\(x\mapsto 3x-1\)

\(x\mapsto3x-1\) est continue et strictement croissante sur \(\mathbb{R}\), et prend toutes les valeurs réelles. Les deux autres donnent la même image à \(x\) et à \(-x\) et ne prennent aucune valeur négative.

Étape 4 : la fonction réciproque

Si \(f\) est une bijection de \(I\) sur \(J\), sa réciproque \(f^{-1}\) est la fonction de \(J\) dans \(I\) qui à tout \(y\) associe son unique antécédent :

\[ y=f(x)\iff x=f^{-1}(y),\qquad (f^{-1}\circ f)(x)=x,\qquad (f\circ f^{-1})(y)=y. \]

Exemple résolu 5 : réciproque d'une fonction affine

Soit \(f(x)=2x+3\) sur \(\mathbb{R}\). Cherche d'abord \(f^{-1}\).

\(f\) est continue et strictement croissante sur \(\mathbb{R}\) et \(f(\mathbb{R})=\mathbb{R}\) : c'est une bijection de \(\mathbb{R}\) sur \(\mathbb{R}\).

On résout \(y=2x+3\) en \(x\) : \(x=\dfrac{y-3}{2}\).

Donc \(f^{-1}(x)=\dfrac{x-3}{2}\). Vérification : \(f^{-1}(f(1))=f^{-1}(5)=\dfrac{5-3}{2}=1\).

Observe les deux droites et leur axe de symétrie \(y=x\) :

Sur \([0\,;+\infty[\), quelle est la réciproque de \(x\mapsto x^2\) ?

\(x\mapsto\sqrt{x}\)
\(x\mapsto\dfrac{1}{x^2}\)
\(x\mapsto -x^2\)

Pour \(x\geq0\) et \(y\geq0\), \(y=x^2\iff x=\sqrt{y}\). La fonction \(\dfrac{1}{x^2}\) est l'inverse, pas la réciproque.

Étape 5 : transformer une courbe

On part de la courbe \(\mathcal{C}_f\) d'une fonction \(f\). Avec \(a\), \(b\) réels et \(k>0\) :

Nouvelle fonction	Transformation de \(\mathcal{C}_f\)
\(x\mapsto f(x)+b\)	translation verticale de \(b\) (vers le haut si \(b>0\))
\(x\mapsto f(x-a)\)	translation horizontale de \(a\) (vers la droite si \(a>0\))
\(x\mapsto f(x-a)+b\)	translation de vecteur \(\vec{u}(a\,;b)\)
\(x\mapsto k\,f(x)\)	dilatation verticale de rapport \(k\) (étirement si \(k>1\), écrasement si \(0
\(x\mapsto f(kx)\)	dilatation horizontale de rapport \(\dfrac1k\)
\(x\mapsto -f(x)\)	symétrie par rapport à l'axe des abscisses
\(x\mapsto f(-x)\)	symétrie par rapport à l'axe des ordonnées

Fais bouger les curseurs : la première courbe est la parabole de référence \(y=x^2\), la seconde est \(y=k(x-a)^2+b\). Essaie aussi une valeur négative de \(k\) : la parabole se retourne (symétrie par rapport à l'axe des abscisses combinée à une dilatation).

Exemple résolu 6

Cherche d'abord comment obtenir la courbe de \(g(x)=(x-2)^2-1\) à partir de la parabole \(y=x^2\), et où se trouve son sommet.

Voir la solution

\(g(x)=f(x-2)-1\) avec \(f(x)=x^2\) : c'est la translation de vecteur \(\vec{u}(2\,;-1)\). Le sommet \(O(0\,;0)\) de la parabole devient \(S(2\,;-1)\).

Comment passe-t-on de la courbe de \(y=\sqrt{x}\) à celle de \(y=\sqrt{x+3}\) ?

Translation de 3 unités vers la droite
Translation de 3 unités vers la gauche
Translation de 3 unités vers le haut

\(\sqrt{x+3}=f(x-(-3))\) avec \(f(x)=\sqrt{x}\) : translation horizontale de \(-3\), donc vers la gauche. Le point de départ \((0\,;0)\) devient \((-3\,;0)\).

Erreurs fréquentes

Inverser l'ordre de la composée : dans \(g\circ f\), on applique \(f\) en premier.
Oublier la condition \(f(x)\in D_g\) dans le domaine de \(g\circ f\).
Confondre réciproque \(f^{-1}\) et inverse \(\dfrac1f\).
Parler de réciproque sans avoir justifié la bijection (continuité et stricte monotonie sur un intervalle).
Se tromper de sens pour \(f(x-a)\) : décalage vers la droite quand \(a>0\).

Récapitulatif

Somme, produit, quotient : définis sur \(D_f\cap D_g\) (et \(g(x)\neq0\) pour le quotient).
\((g\circ f)(x)=g(f(x))\) : d'abord \(f\), puis \(g\) ; en général \(g\circ f\neq f\circ g\).
Bijection : chaque image a exactement un antécédent ; garantie par la continuité et la stricte monotonie sur un intervalle.
Réciproque : \(y=f(x)\iff x=f^{-1}(y)\) ; courbes symétriques par rapport à \(y=x\).
Transformations : \(+b\) en dehors monte la courbe, \(x-a\) dedans la décale à droite, \(k\) devant étire verticalement, le signe moins retourne.

Composée \(g\circ f\)

\(x\mapsto g(f(x))\) : on applique d'abord \(f\), puis \(g\).

Injective

Au plus un antécédent pour chaque image.

Surjective

Au moins un antécédent pour chaque élément de l'ensemble d'arrivée.

Théorème de la bijection

Continue et strictement monotone sur \(I\) : bijection de \(I\) sur \(f(I)\).

Courbe de la réciproque

Symétrique de celle de \(f\) par rapport à la droite \(y=x\).

\(f(x-a)+b\)

Translation de vecteur \((a\,;b)\).