Objectifs

• Comprendre la notion de limite d'une suite.
• Savoir déterminer si une suite converge vers une limite.
• Exemples concrets et calculs pour illustrer la convergence.

Notions clés

• Suite numérique : une liste ordonnée de nombres notée  \( (u_n)_{n\in \mathbb{N}} \).
• Limite d'une suite : la valeur vers laquelle  \( u_n \)  tend lorsque n devient grand.
• Convergence : lorsque  \( u_n \to L \) , on dit que la suite converge vers  \( L \).

Exemple résolu

Exemple : la suite \(\displaystyle u_n = \frac{1}{n}\)

1. Épeler la suite : \(\displaystyle u_1 = 1, u_2 = \frac{1}{2}, u_3 = \frac{1}{3}, \dots\)
2. On observe que \(\displaystyle u_n\) devient plus petit quand n augmente, et que \(\displaystyle u_n\) semble se rapprocher de 0.
3. Pour \(\displaystyle \epsilon > 0\), on cherche n tel que : \[\left| u_n - 0 \right| < \epsilon \] , c'est-à-dire \[\left| \frac{1}{n} \right| < \epsilon\], ce qui revient à chercher n tel que : \[\frac{1}{n} < \epsilon\]
4. On en déduit que dans \[\forall \epsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N}\text{ tel que } \forall n \geq N, \left| u_n - 0 \right| < \epsilon\], il suffit de prendre \[ N > \frac{1}{\epsilon}\].
5. Conclusion : \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} u_n = 0\).

Erreurs fréquentes

• Confondre limite et valeur d'un terme de la suite.
• Supposer la convergence sans vérification.
• Oublier la condition pour tout \(\epsilon > 0\).

Résumé

Une suite converge lorsque ses termes s'approchent d'une valeur précise quand n devient très grand. La limite est cette valeur. La convergence se vérifie avec la définition formelle en utilisant \(\epsilon\).

Cartes mémo

Schéma processeur

flowchart LR
A[Début] --> B{La suite était-elle observée ?}
B -- Oui --> C{Les termes séparés à un epsilon ?}
C -- Oui --> D[Convergence vers limite]
C -- Non --> E[Vérifier la définition]
E --> B
D --> F[Fin]