Convergence et limites des suites numériques

Objectifs

Comprendre la notion de limite d'une suite numérique, différencier suites convergentes et divergentes, et savoir calculer la limite dans certains cas.

Notions clés

Suite numérique : Ensemble de termes \( (u_n) \) indexés par \( n \in \mathbb{N} \).
Limite d'une suite : La valeur vers laquelle les termes de la suite tendent lorsque \( n \) tend vers l'infini.
Convergence : La suite est convergente si ses termes se rapprochent d'une limite finie.
Divergence : La suite ne possède pas de limite finie, elle diverge (tend vers \( +\infty \), \( -\infty \), ou oscille).

Exemple illustré

Considérons la suite \( (u_n) \) définie par \( u_n = \frac{1}{n} \). Nous allons déterminer sa limite lorsque \( n \) tend vers l'infini.

1. Observation : lorsque \( n \) devient très grand, \( \frac{1}{n} \) devient très petit.

2. Formalisation : \(\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n} = 0 \).

3. Conclusion : la suite \( (u_n) \) tend vers 0, elle est donc convergente et sa limite est 0.

Vérifions cette limite :

Voir la solution

On peut aussi utiliser la propriété : \(\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n} = 0\), car le dénominateur tend vers \( +\infty \).

Quelle est la limite de la suite \( u_n = 2n + 5 \) lorsque \( n \to +\infty \) ?

0
\( +\infty \)
-\infty

La suite est linéaire avec un coefficient positif, donc elle tend vers \( +\infty \).

Erreur fréquente

Récapitulatif

Suite

Ensemble de termes indexés par n

Limite

Valeur vers laquelle une suite tend lorsque n → ∞

Convergence

Suite tend vers une limite finie

Divergence

Suite ne possède pas de limite finie, ou tend vers infinité

Schéma illustratif

flowchart LR
    A[Termes de la suite]
    B[Comportement à long terme]
    C[Limite finie ou infinie]
    A --> B
    B --> C