Convergence et limites des suites numériques

Objectifs

Suite numérique : une fonction définie sur l'ensemble des entiers naturels, notée \( (u_n) \).
Convergence : une suite \( (u_n) \) converge vers une valeur \( L \) si, pour tout \( \varepsilon > 0 \), il existe un entier \( N \) tel que, pour tout \( n \geq N \), \( |u_n - L| < \varepsilon \).
Limite : la valeur vers laquelle la suite tend lorsque \( n \) devient très grand.

Considérons la suite \( (u_n) \) définie par \( u_n = \frac{1}{n} \).

Intuitivement, à mesure que \( n \) augmente, \( u_n \) devient très petit.

On peut calculer la limite :

Étape 1 : reconnaître que la suite est \( u_n = \frac{1}{n} \).

Étape 2 : analyser ce qui se passe quand \( n \to \infty \).

Étape 3 : constater que \( \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0 \).

Donc, la suite converge vers 0.

Voir la solution

\( u_n = \frac{1}{n} \) et lorsque \( n \to \infty \), \( u_n \to 0 \).

\[ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0 \]

Quelle est la limite de la suite \( (u_n) = \frac{2n+3}{4n+5} \) lorsque \( n \to \infty \) ?

En divisant numérateur et dénominateur par \( n \), on trouve la limite 1/2.

Une suite \( (u_n) \) est convergente si elle a une limite finie \( L \).
La limite se calcule en analysant le comportement de \( u_n \) lorsque \( n \) devient très grand.
Exemples classiques : \( u_n = \frac{1}{n} \to 0 \) et \( u_n = \frac{3n+2}{n+4} \to 3 \).

Suite numérique

Fonction définie sur l'ensemble des entiers naturels

Convergence

Suite tendant vers une valeur \( L \) lorsque \( n \to \infty \)

Limite

Valeur vers laquelle la suite tend lorsque \( n \) devient très grand