Convergence vers l’espérance avec la taille de l’échantillon dans la Loi des Grands Nombres

Convergence vers l’espérance avec la taille de l’échantillon

Introduction

En probabilités, la loi des grands nombres décrit comment la moyenne d’échantillons aléatoires d’une variable aléatoire se rapproche de l’espérance. Ce cours explique cette convergence lors de l’augmentation de la taille de l’échantillon.

Probabilités et variables aléatoires

Considérons une variable aléatoire \( X \) de loi donnée, avec une espérance finie \( \mathbb{E}[X] = \mu \).

Moyenne d’échantillon

On prélève un échantillon de taille \( n \) : \( X_1, X_2, \dots, X_n \), indépendants et de même loi que \( X \).

La moyenne d’échantillon est :

\[ ar{X}_n = rac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i \]

Théorème de la loi des grands nombres (LGN)

La LGN indique que, pour toute \( arepsilon > 0 \),

\[ \lim_{n o \infty} P \left( |ar{X}_n - \mu| > arepsilon ight) = 0 \]

Ce qui signifie que la moyenne d’échantillon \( ar{X}_n \) converge en probabilité vers l’espérance \( \mu \) lorsque \( n \) tend vers l’infini.

Convergence en moyenne : loi forte

Plus fortement, sous certaines conditions, on peut également montrer que

\[ \lim_{n o \infty} \mathbb{E}[|ar{X}_n - \mu|] = 0 \]

ce qui traduit une convergence en moyenne.

Impact de la taille de l’échantillon

Plus \( n \) augmente, plus la moyenne d’échantillon \( ar{X}_n \) se rapproche de \( \mu \). En pratique, pour une taille d’échantillon suffisante, la moyenne expérimentale est une approximation fiable de l’espérance théorique.

Conclusion

La loi des grands nombres montre que la moyenne observée d’échantillons de grande taille tend vers l’espérance du phénomène. Cela justifie l’usage des moyennes dans l’estimation statistique et le comportement stable des expériences aléatoires à long terme.