Conversions d'unités et cohérence dimensionnelle

Une grandeur, c'est un nombre ET une unité : pour calculer juste, on convertit toutes les grandeurs dans des unités compatibles, et on vérifie que l'unité du résultat a du sens.

Objectifs

Convertir des longueurs, des aires, des volumes, des contenances et des durées.
Manipuler des grandeurs quotients (vitesse, débit, masse volumique) et produits (énergie en kWh).
Convertir une vitesse de km/h en m/s et inversement.
Vérifier la cohérence d'un calcul ou d'une formule à l'aide des unités.

1. Grandeurs et unités : le nombre ne suffit pas

Une grandeur (longueur, masse, durée, aire…) s'exprime par un nombre suivi d'une unité. Changer d'unité ne change pas la grandeur : \(2{,}5\ \text{km}\) et \(2\,500\ \text{m}\) désignent la même distance.

Longueurs, masses, contenances

Pour le mètre, le gramme et le litre, on passe d'une unité à la suivante en multipliant ou en divisant par 10 :

km	hm	dam	m	dm	cm	mm
×10 →	×10 →	×10 →	×10 →	×10 →	×10 →

Exemples : \(2{,}5\ \text{km} = 2\,500\ \text{m}\) ; \(350\ \text{g} = 0{,}35\ \text{kg}\) ; \(75\ \text{cL} = 0{,}75\ \text{L}\).

Les durées : attention, base 60

\(1\ \text{h} = 60\ \text{min}\) et \(1\ \text{min} = 60\ \text{s}\), donc \(1\ \text{h} = 3\,600\ \text{s}\). Les durées ne suivent PAS le système décimal :

\[3\ \text{h}\ 45\ \text{min} = 3\ \text{h} + \frac{45}{60}\ \text{h} = 3{,}75\ \text{h} \qquad 1{,}2\ \text{h} = 1\ \text{h} + 0{,}2 \times 60\ \text{min} = 1\ \text{h}\ 12\ \text{min}\]

Le car Dakar–Thiès met 1 h 15 min. Combien cela fait-il en heures décimales ?

1,15 h
1,25 h
1,5 h

15 min, c'est \(\frac{15}{60} = 0{,}25\) h. Donc 1 h 15 min = 1,25 h.

2. Aires et volumes : des tableaux qui sautent plus vite

On découpe le côté de 1 m en 10 parts de 1 dm : on obtient 10 bandes.

On découpe aussi l'autre côté en 10 : chaque bande contient 10 petits carrés de 1 dm de côté.

Au total \(10 \times 10 = 100\) petits carrés : \(1\ \text{m}^2 = 100\ \text{dm}^2\).

Notions clés

Aires : d'une unité à la suivante, on multiplie ou divise par \(10 \times 10 = 100\). Ainsi \(1\ \text{m}^2 = 100\ \text{dm}^2 = 10\,000\ \text{cm}^2\).
Unités agraires : \(1\ \text{a} = 100\ \text{m}^2\) et \(1\ \text{ha} = 10\,000\ \text{m}^2\).
Volumes : d'une unité à la suivante, on multiplie ou divise par \(10 \times 10 \times 10 = 1\,000\). Ainsi \(1\ \text{m}^3 = 1\,000\ \text{dm}^3\).
Lien volume–contenance : \(1\ \text{dm}^3 = 1\ \text{L}\) et \(1\ \text{cm}^3 = 1\ \text{mL}\). Donc \(1\ \text{m}^3 = 1\,000\ \text{L}\).

Exemple résolu 1 : la citerne et le terrain

a) Une citerne contient \(2{,}4\ \text{m}^3\) d'eau. Combien de bidons de 20 L peut-on remplir ? b) Un terrain rectangulaire de 40 m sur 25 m à Ouagadougou : quelle est son aire en ares ?

Voir la solution

a) \(2{,}4\ \text{m}^3 = 2\,400\ \text{dm}^3 = 2\,400\ \text{L}\), puis \(2\,400 \div 20 = 120\) bidons.

b) \(40 \times 25 = 1\,000\ \text{m}^2\), et \(1\ \text{a} = 100\ \text{m}^2\), donc \(1\,000\ \text{m}^2 = 10\ \text{a}\).

Combien de litres contient un aquarium de \(0{,}05\ \text{m}^3\) ?

0,5 L
5 L
50 L

\(0{,}05\ \text{m}^3 = 0{,}05 \times 1\,000\ \text{dm}^3 = 50\ \text{dm}^3 = 50\ \text{L}\).

3. Grandeurs quotients : vitesse, débit, masse volumique

Une grandeur quotient est le quotient de deux grandeurs. Son unité est une unité « par » :

Vitesse moyenne : \(v = \dfrac{d}{t}\), en km/h ou m/s.
Débit : \(D = \dfrac{V}{t}\), en L/min ou m³/h.
Masse volumique : \(\rho = \dfrac{m}{V}\), en g/cm³ ou kg/m³.

De km/h à m/s

\[1\ \text{km/h} = \frac{1\,000\ \text{m}}{3\,600\ \text{s}} = \frac{1}{3{,}6}\ \text{m/s}\]

flowchart LR
  A[Vitesse en km par h] -->|diviser par 3,6| B[Vitesse en m par s]
  B -->|multiplier par 3,6| A

Exemple résolu 2 : le zémidjan

On écrit la vitesse avec ses unités : \(36\ \text{km/h} = \dfrac{36\,000\ \text{m}}{3\,600\ \text{s}}\).

On calcule : \(\dfrac{36\,000}{3\,600} = 10\), donc \(36\ \text{km/h} = 10\ \text{m/s}\).

Vérification avec la règle : \(36 \div 3{,}6 = 10\). Le taxi-moto parcourt 10 m chaque seconde.

Exemple résolu 3 : une vitesse moyenne

Seydou parcourt 3 km à vélo en 20 min. Quelle est sa vitesse moyenne en km/h ?

Voir la solution

On convertit la durée en heures : \(20\ \text{min} = \dfrac{20}{60}\ \text{h} = \dfrac{1}{3}\ \text{h}\). Puis \(v = \dfrac{3\ \text{km}}{\frac{1}{3}\ \text{h}} = 3 \times 3 = 9\ \text{km/h}\).

Joue avec la vitesse \(v\) (en km/h) : la droite montre la distance \(d = v \times t\) parcourue en fonction de la durée \(t\) en heures. Pour \(v = 80\), lis la distance à \(t = 2{,}5\) : on trouve 200 km.

Exemple résolu 4 : le débit du robinet

Un robinet a un débit de 8 L/min. Combien de temps faut-il pour remplir une citerne de \(2\ \text{m}^3\) ?

Voir la solution

\(2\ \text{m}^3 = 2\,000\ \text{L}\). Durée : \(t = \dfrac{V}{D} = \dfrac{2\,000\ \text{L}}{8\ \text{L/min}} = 250\ \text{min}\). Or \(250 = 4 \times 60 + 10\), donc \(t = 4\ \text{h}\ 10\ \text{min}\).

Exemple résolu 5 : masse volumique

La masse volumique de l'eau est d'environ \(1\ \text{g/cm}^3\). On veut l'exprimer en kg/m³.

\(1\ \text{g} = 0{,}001\ \text{kg}\) et \(1\ \text{cm}^3 = 0{,}000\,001\ \text{m}^3\).

\(1\ \text{g/cm}^3 = \dfrac{0{,}001\ \text{kg}}{0{,}000\,001\ \text{m}^3} = 1\,000\ \text{kg/m}^3\) : un mètre cube d'eau pèse environ une tonne.

Un guépard court à 30 m/s. Quelle est sa vitesse en km/h ?

108 km/h
8,3 km/h
30 km/h

De m/s vers km/h, on multiplie par 3,6 : \(30 \times 3{,}6 = 108\) km/h.

4. Grandeurs produits : l'énergie en kWh

Une grandeur produit est le produit de deux grandeurs. L'énergie électrique consommée vaut \(E = P \times t\) : avec \(P\) en kW et \(t\) en h, \(E\) est en kWh.

Exemple résolu 6 : l'ampoule d'Aïcha

Calcule l'énergie consommée en 30 soirs, puis le coût si le kWh est facturé 100 F CFA (prix choisi pour l'exemple).

On convertit la puissance : \(60\ \text{W} = 0{,}06\ \text{kW}\).

Durée totale : \(5\ \text{h} \times 30 = 150\ \text{h}\).

\(E = 0{,}06\ \text{kW} \times 150\ \text{h} = 9\ \text{kWh}\).

Coût : \(9 \times 100 = 900\) F CFA.

Un ventilateur de 50 W fonctionne 8 h. Quelle énergie consomme-t-il ?

400 kWh
0,4 kWh
58 kWh

\(50\ \text{W} = 0{,}05\ \text{kW}\), et \(0{,}05 \times 8 = 0{,}4\) kWh (soit 400 Wh, pas 400 kWh).

5. La cohérence dimensionnelle : les unités comme détecteur d'erreurs

Les règles

On ne peut additionner, soustraire ou comparer que des grandeurs de même nature, exprimées dans la même unité : \(2\ \text{m} + 30\ \text{cm} = 2\ \text{m} + 0{,}30\ \text{m} = 2{,}30\ \text{m}\).
En multipliant ou en divisant, les unités se multiplient ou se divisent : \(\text{m} \times \text{m} = \text{m}^2\), \(\dfrac{\text{km}}{\text{h}} = \text{km/h}\), \(\text{km/h} \times \text{h} = \text{km}\).
L'unité du résultat doit correspondre à la grandeur cherchée : une aire en m², un volume en m³, une vitesse en km/h ou m/s.

Exemple résolu 7 : vérifier une formule

Kouni écrit que le volume d'un pavé est \(V = 2 \times (L + l) \times h\). Les unités permettent-elles de repérer une erreur ?

Voir la solution

Les unités donnent \(\text{m} \times \text{m} = \text{m}^2\) : c'est bien une aire (celle des faces latérales), pas un volume. Un volume doit être en m³, il faut trois longueurs multipliées : \(V = L \times l \times h\). Ici les unités montrent l'erreur. Attention cependant : une formule aux unités correctes n'est pas forcément juste, les unités ne détectent que certaines erreurs.

Quelle expression est cohérente pour calculer une durée ?

\(t = d \times v\)
\(t = \frac{v}{d}\)
\(t = \frac{d}{v}\)

\(\frac{\text{km}}{\text{km/h}} = \text{km} \times \frac{\text{h}}{\text{km}} = \text{h}\) : on obtient bien une durée. Les deux autres donnent des km²/h et des 1/h.

Erreurs fréquentes

Convertir des aires avec un facteur 10 au lieu de 100, ou des volumes avec 100 au lieu de 1 000.
Lire 1,30 h comme 1 h 30 min.
Additionner des grandeurs exprimées dans des unités différentes (m et cm, h et min).
Oublier de convertir les W en kW avant de calculer des kWh.
Écrire un résultat sans unité.

Récapitulatif

Longueurs, masses, contenances : facteur 10 entre deux unités voisines ; aires : 100 ; volumes : 1 000.
\(1\ \text{dm}^3 = 1\ \text{L}\), \(1\ \text{m}^3 = 1\,000\ \text{L}\), \(1\ \text{ha} = 10\,000\ \text{m}^2\).
Durées en base 60 : \(1\ \text{h} = 60\ \text{min} = 3\,600\ \text{s}\).
km/h vers m/s : diviser par 3,6 ; m/s vers km/h : multiplier par 3,6.
On n'additionne que des grandeurs de même unité ; l'unité du résultat doit être celle de la grandeur cherchée.

Conversion d'aires

Facteur 100 entre deux unités voisines : 1 m² = 100 dm².

Volume et contenance

1 dm³ = 1 L ; 1 m³ = 1 000 L ; 1 cm³ = 1 mL.

km/h et m/s

Diviser par 3,6 pour passer en m/s ; multiplier par 3,6 pour revenir en km/h.

Grandeur produit

Produit de deux grandeurs, par exemple l'énergie en kWh = puissance en kW × durée en h.

Cohérence dimensionnelle

On n'additionne que des grandeurs de même unité, et l'unité du résultat doit correspondre à la grandeur cherchée.