Coordonnées d'un vecteur

Dans un repère, un vecteur se résume par deux nombres : de combien on se déplace horizontalement et de combien on se déplace verticalement ; pour aller de \(A\) à \(B\), on calcule \(x_B - x_A\) et \(y_B - y_A\).

Objectifs

Lire graphiquement les coordonnées d'un vecteur dans un repère.
Calculer les coordonnées du vecteur \(\overrightarrow{AB}\) à partir des coordonnées de \(A\) et \(B\).
Utiliser les coordonnées pour reconnaître des vecteurs égaux et un parallélogramme.
Calculer les coordonnées d'une somme de vecteurs et du produit d'un vecteur par un nombre.
Calculer la distance \(AB\) dans un repère orthonormé.

1. Lire les coordonnées d'un vecteur

On se place dans un repère \((O ; I, J)\). Un vecteur \(\vec{u}\) représente un déplacement. Ses coordonnées sont :

l'abscisse \(x\) : le déplacement horizontal (positif vers la droite, négatif vers la gauche) ;
l'ordonnée \(y\) : le déplacement vertical (positif vers le haut, négatif vers le bas).

On écrit \(\vec{u}\,(x \,;\, y)\) ou en colonne \(\vec{u}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\).

Étape 1 : depuis A, on compte les carreaux vers la droite jusqu'à la verticale de B : 3 carreaux, donc l'abscisse vaut 3.

Étape 2 : on compte ensuite les carreaux vers le haut jusqu'à B : 1 carreau, donc l'ordonnée vaut 1.

Étape 3 : le vecteur AB, en rouge, a pour coordonnées 3 et 1 : c'est le déplacement complet de A vers B.

Pour aller de \(M\) à \(N\), on se déplace de 2 carreaux vers la gauche puis de 4 carreaux vers le haut. Quelles sont les coordonnées de \(\overrightarrow{MN}\) ?

\((2 \,;\, 4)\)
\((4 \,;\, -2)\)
\((-2 \,;\, 4)\)

Vers la gauche, l'abscisse est négative : \(-2\). Vers le haut, l'ordonnée est positive : \(4\). On écrit toujours l'abscisse en premier.

2. Calculer les coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\)

Exemple résolu

On donne \(A(-2 \,;\, 1)\) et \(B(3 \,;\, -4)\). Calcule les coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\).

Abscisse : \(x_B - x_A = 3 - (-2) = 3 + 2 = 5\).

Ordonnée : \(y_B - y_A = -4 - 1 = -5\).

Donc \(\overrightarrow{AB}\,(5 \,;\, -5)\) : on va de 5 vers la droite et de 5 vers le bas.

À toi : cherche d'abord

On donne \(C(4 \,;\, -1)\) et \(D(-3 \,;\, 2)\). Calcule les coordonnées de \(\overrightarrow{CD}\) puis de \(\overrightarrow{DC}\).

Voir la solution

\[ \overrightarrow{CD}\begin{pmatrix} -3 - 4 \\ 2 - (-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -7 \\ 3 \end{pmatrix} \qquad \overrightarrow{DC}\begin{pmatrix} 4 - (-3) \\ -1 - 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\ -3 \end{pmatrix} \]

Les coordonnées de \(\overrightarrow{DC}\) sont bien les opposées de celles de \(\overrightarrow{CD}\).

On donne \(E(2 \,;\, 5)\) et \(F(-1 \,;\, 3)\). Quelles sont les coordonnées de \(\overrightarrow{EF}\) ?

\((-3 \,;\, -2)\)
\((3 \,;\, 2)\)
\((1 \,;\, 8)\)

\(x_F - x_E = -1 - 2 = -3\) et \(y_F - y_E = 3 - 5 = -2\). La réponse \((3 \,;\, 2)\) correspond à \(\overrightarrow{FE}\).

3. Vecteurs égaux et parallélogramme

Deux vecteurs sont égaux si et seulement s'ils ont les mêmes coordonnées. On rappelle que \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\) signifie que \(ABCD\) est un parallélogramme (éventuellement aplati).

Exemple résolu : trouver le quatrième sommet

On donne \(A(1 \,;\, 1)\), \(B(4 \,;\, 2)\) et \(C(5 \,;\, 5)\). Trouve les coordonnées de \(D\) pour que \(ABCD\) soit un parallélogramme.

\(ABCD\) est un parallélogramme si \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\).

\(\overrightarrow{AB}\,(4 - 1 \,;\, 2 - 1)\), soit \(\overrightarrow{AB}\,(3 \,;\, 1)\).

En notant \(D(x \,;\, y)\) : \(\overrightarrow{DC}\,(5 - x \,;\, 5 - y)\).

On écrit l'égalité des coordonnées : \(5 - x = 3\) donc \(x = 2\) ; \(5 - y = 1\) donc \(y = 4\).

Donc \(D(2 \,;\, 4)\). Vérification : \(\overrightarrow{AD}\,(1 \,;\, 3)\) et \(\overrightarrow{BC}\,(1 \,;\, 3)\) sont bien égaux.

On a \(\vec{u}\,(2 \,;\, -3)\) et \(\vec{v}\,(a \,;\, -3)\). Pour quelle valeur de \(a\) a-t-on \(\vec{u} = \vec{v}\) ?

\(a = -2\)
\(a = 2\)
\(a = 3\)

Deux vecteurs sont égaux quand leurs abscisses sont égales et leurs ordonnées sont égales : il faut \(a = 2\).

4. Somme de vecteurs et produit par un nombre

Si \(\vec{u}\,(x \,;\, y)\) et \(\vec{v}\,(x' \,;\, y')\), et si \(k\) est un nombre réel :

\[ \vec{u} + \vec{v}\,\begin{pmatrix} x + x' \\ y + y' \end{pmatrix} \qquad\qquad k\,\vec{u}\,\begin{pmatrix} k\,x \\ k\,y \end{pmatrix} \]

Exemple résolu

Avec \(\vec{u}\,(2 \,;\, -1)\) et \(\vec{v}\,(-3 \,;\, 4)\), calcule \(\vec{u} + \vec{v}\) et \(3\,\vec{u}\).

\(\vec{u} + \vec{v}\,(2 + (-3) \,;\, -1 + 4)\), soit \(\vec{u} + \vec{v}\,(-1 \,;\, 3)\).

\(3\,\vec{u}\,(3 \times 2 \,;\, 3 \times (-1))\), soit \(3\,\vec{u}\,(6 \,;\, -3)\) : même direction et même sens que \(\vec{u}\), trois fois plus long.

Avec \(\vec{u}\,(1 \,;\, 4)\) et \(\vec{v}\,(-5 \,;\, 2)\), quelles sont les coordonnées de \(\vec{u} + 2\,\vec{v}\) ?

\((-4 \,;\, 6)\)
\((-8 \,;\, 12)\)
\((-9 \,;\, 8)\)

\(2\,\vec{v}\,(-10 \,;\, 4)\), puis \(\vec{u} + 2\,\vec{v}\,(1 - 10 \,;\, 4 + 4) = (-9 \,;\, 8)\).

5. Distance entre deux points

Dans un repère orthonormé, si \(\overrightarrow{AB}\,(x \,;\, y)\), alors \[ AB = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} \]

Exemple résolu : cherche d'abord

Calcule \(AB\) avec \(A(1 \,;\, 2)\) et \(B(4 \,;\, 6)\), unité : le centimètre.

Voir la solution

\begin{align} \overrightarrow{AB} &: (4 - 1 \,;\, 6 - 2) = (3 \,;\, 4) \\ AB &= \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \end{align}

Donc \(AB = 5\) cm.

Dans un repère orthonormé, \(\overrightarrow{MN}\,(-6 \,;\, 8)\). Combien vaut \(MN\) ?

\(10\)
\(2\)
\(14\)

\(MN = \sqrt{(-6)^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10\).

Erreurs fréquentes

Calculer « départ moins arrivée » : on obtient \(\overrightarrow{BA}\) au lieu de \(\overrightarrow{AB}\).
Inverser abscisse et ordonnée : l'abscisse (horizontale) s'écrit toujours en premier.
Mal gérer les signes : \(3 - (-2) = 5\).
Pour un parallélogramme \(ABCD\), écrire \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}\) au lieu de \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\).
Oublier la racine carrée dans le calcul d'une distance.

Récapitulatif

Les coordonnées d'un vecteur donnent le déplacement horizontal puis vertical.
\(\overrightarrow{AB}\,(x_B - x_A \,;\, y_B - y_A)\) : arrivée moins départ.
Deux vecteurs sont égaux si et seulement s'ils ont les mêmes coordonnées ; \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\) signifie que \(ABCD\) est un parallélogramme.
On additionne les coordonnées pour une somme et on les multiplie par \(k\) pour \(k\,\vec{u}\).
Dans un repère orthonormé, \(AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\).

Coordonnées d'un vecteur

Déplacement horizontal (abscisse) puis vertical (ordonnée) : \(\vec{u}\,(x \,;\, y)\).

Coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\)

\((x_B - x_A \,;\, y_B - y_A)\) : arrivée moins départ.

Vecteurs égaux

Mêmes coordonnées ; \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\) équivaut à \(ABCD\) parallélogramme.

Somme et produit

\(\vec{u} + \vec{v}\,(x + x' \,;\, y + y')\) et \(k\,\vec{u}\,(k\,x \,;\, k\,y)\).

Distance \(AB\)

\(\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\) dans un repère orthonormé.