Coordonnées d'un vecteur

En géométrie, un vecteur est une grandeur qui possède une direction, un sens et une longueur. Pour le connaître précisément dans un espace à 2 dimensions ou 3 dimensions, on utilise ses coordonnées.

Qu'est-ce qu'un vecteur ?

Un vecteur peut être représenté comme une flèche allant d'un point A à un point B. La longueur de cette flèche correspond à l'amplitude du vecteur, et la direction indique son orientation.

Comment déterminer les coordonnées d'un vecteur ?

Supposons que le point A a pour coordonnées \((x_A, y_A)\) (dans le cas en 2D) ou \((x_A, y_A, z_A)\) en 3D, et que le point B a pour coordonnées \((x_B, y_B)\) ou \((x_B, y_B, z_B)\).

En 2 dimensions

Le vecteur \(ec{AB}\) est associé aux coordonnées :

• composante horizontale : \(x_B - x_A\)
• composante verticale : \(y_B - y_A\)

On note donc :

En 3 dimensions

Le vecteur \(ec{AB}\) a pour coordonnées :

Exemple

Soit le point A(2, 5) et le point B(5, 9).
Les coordonnées du vecteur \(ec{AB}\) sont :

Ce vecteur va de A vers B en avançant 3 unités à l’horizontale et 4 en verticale.

Résumé

• Les coordonnées d’un vecteur définissent sa position dans l’espace.
• Pour un vecteur allant de A à B, on soustrait les coordonnées de A de celles de B :

Les coordonnées permettent de manipuler facilement les vecteurs dans un plan ou dans l’espace.