Coordonnées d'un vecteur en géométrie vectorielle

Introduction

En géométrie vectorielle, un vecteur peut être représenté par ses coordonnées dans un repère orthonormé. Ces coordonnées permettent de localiser le vecteur dans l'espace ou le plan.

Repère et vecteur

Considérons un repère orthonormé « origine O » avec deux axes (Ox) et (Oy) dans le plan. Un vecteur « \(ec{u}\) », allant de l'origine O à un point M, est représenté par le segment [OM].

Les coordonnées d'un vecteur \(ec{u}\)

Les coordonnées du point M, notées \((x, y)\), sont appelées coordonnées du vecteur \(ec{u}\).

Le vecteur \(ec{u}\) est alors noté :

<strong>\(ec{u}\)=egin{bmatrix}x\ y\end{bmatrix}\)</strong>

Calcul des coordonnées

Pour un point M de coordonnées \((x, y)\), si le vecteur \(ec{u}\) est \(ec{OM}\), alors :

• à partir de l'origine, \(ec{u}\) peut être eulémenter en \(ec{u} = x ec{i} + y ec{j}\), où \(ec{i}\) et \(ec{j}\) sont les vecteurs unités dans la direction des axes X et Y.
• Les coordonnées \((x, y)\) sont les nombres qui indiquent combien on doit se déplacer horizontalement et verticalement à partir de l'origine.

Exemple d'application

Si M est le point (3, -2), alors le vecteur \(ec{u}=ec{OM}\) a pour coordonnées \((3, -2)\).

Ce vecteur s'écrit : \(ec{u} = 3 ec{i} - 2 ec{j}\).

Résumé

• Les coordonnées d'un vecteur dans un repère orthonormé sont une paire de nombres \((x, y)\).
• Ces coordonnées représentent la position du point terminal du vecteur par rapport à l'origine.
• Le vecteur s'écrit en utilisant ses coordonnées : \(egin{bmatrix}x\ y\end{bmatrix}\).