Géométrie vectorielle : Coordonnées d'un vecteur

Introduction

En géométrie vectorielle, pour représenter un vecteur dans un espace, on utilise ses coordonnées. Cela permet de manipuler plus facilement les vecteurs avec des calculs.

Définition

Soit un point origine \( O \) et un point \( A \) dans le plan ou l'espace. Le vecteur \(ec{OA}\) est associé à un ensemble de nombres appelés ses coordonnées, qui indiquent sa position par rapport à un repère.

Coordonnées dans un repère

Supposons que l'on ait un repère orthonormé avec un point origine \( O \) et deux axes \( (x) \) et \( (y) \) (au plan), ou trois axes dans l'espace (\( x, y, z \)).

Dans le plan :

• Le point \( A \) a pour coordonnées \( (x_A, y_A) \)
• Le vecteur \(ec{OA}\) s'écrit : \[ec{OA} = (x_A, y_A)\]

Dans l'espace :

• Le point \( A \) a pour coordonnées \( (x_A, y_A, z_A) \)
• Le vecteur \(ec{OA}\) s'écrit : \[ec{OA} = (x_A, y_A, z_A)\]

Calcul des coordonnées d'un vecteur

Si on connaît les coordonnées de deux points \( A(x_A, y_A) \) et \( B(x_B, y_B) \), alors le vecteur \(ec{AB}\) a pour coordonnées :

• \( x_{AB} = x_B - x_A \)
• \( y_{AB} = y_B - y_A \)

Dans l'espace, avec un point \( C(x_C, y_C, z_C) \), le vecteur \(ec{AC}\) a pour coordonnées : \[egin{cases} x_{AC} = x_C - x_A \\ y_{AC} = y_C - y_A \\ z_{AC} = z_C - z_A \end{cases}\]

Résumé

• Les coordonnées d'un vecteur représentent sa position par rapport à un repère.
• Pour calculer un vecteur à partir de deux points, on soustrait leurs coordonnées respectives.

Conclusion

Les coordonnées facilitent la manipulation des vecteurs. Elles permettent notamment de faire des opérations comme l'addition ou la soustraction en traitant simplement des nombres.