Coordonnées de vecteurs

1. Introduction

En géométrie, un vecteur peut être représenté par un triplet de nombres appelés coordonnées. Ces coordonnées indiquent la position du vecteur par rapport à un point de référence.

2. Coordonnées d'un vecteur dans un repère

Considérons un repère \((O;I, J)\) en deux dimensions, avec \(O\) l'origine, \(I\) et \(J\) les axes. Si on connaît un vecteur \(ec{u}\) allant de \(O\) à un point \(M(x,y)\), alors ses coordonnées sont \((x, y)\).

3. Représentation par les coordonnées

On peut écrire le vecteur \(ec{u}\) sous la forme : \[ ec{u} = xec{i} + yec{j}\, \] où \(ec{i}\) et \(ec{j}\) sont les vecteurs unitaires selon les axes \(x\) et \(y\).

4. Calcul des coordonnées

Les coordonnées \((x, y)\) d'un vecteur \(ec{u}\) sont généralement récupérées directement à partir du point \(M\), ou par calcul si le vecteur est défini en changeant de point de référence.

5. Cas en 3D

Dans l'espace, un vecteur \(ec{v}\) possède trois coordonnées \((x, y, z)\). La représentation est : \[ ec{v} = xec{i} + yec{j} + zec{k}\, \] avec \(ec{k}\) le vecteur unitaire selon l'axe \(z\).

6. Résumé

• Les coordonnées permettent d'exprimer un vecteur sous forme numérique.
• Dans un repère, un vecteur est défini par ses coordonnées par rapport à l'origine.
• Les coordonnées sont essentielles pour effectuer des opérations sur les vecteurs comme la somme ou le produit scalaire.

7. Exemple

Considérons le vecteur \(ec{u}\) allant de \(O(0,0)\) à \(M(3,4)\). Ses coordonnées sont \((3, 4)\).

Par conséquent,
\[ ec{u} = 3ec{i} + 4ec{j}\, \]