Introduction

Les vecteurs sont comme des flèches qui ont une direction et une longueur. Pour les décrire dans l'espace, on utilise des coordonnées.

Qu'est-ce qu'une coordonnée d'un vecteur ?

Les coordonnées d'un vecteur sont comme ses "adresses" dans un plan ou dans l'espace. Elles indiquent comment le vecteur se déplace depuis l'origine vers un point dans l'espace.

Les coordonnées en 2D (dans le plan)

Dans un plan, un vecteur \(ec{u}\) peut être représenté par ses coordonnées \((x, y)\). Cela signifie que \(ec{u}\) va de l'origine \((0,0)\) vers le point \((x, y)\).

Par exemple, si \(ec{u}\) a pour coordonnées \((3, 4)\), cela veut dire qu'il avance de 3 unités à droite et de 4 unités en haut.

Les coordonnées en 3D

Dans l'espace, un vecteur \(ec{v}\) se décrit par trois coordonnées: \((x, y, z)\). Cela indique comment il se déplace dans chaque direction:

• \(x\) : déplacement selon l'axe \(x\)
• \(y\) : déplacement selon l'axe \(y\)
• \(z\) : déplacement selon l'axe \(z\)

Par exemple, \(ec{v} = (2, -1, 5)\) signifie qu'il avance de 2 unités dans la direction \(x\), recule de 1 dans la direction \(y\), et monte de 5 dans la direction \(z\).

Comment calculer les coordonnées d'un vecteur ?

Supposons que vous connaissez deux points \(A(x_A, y_A, z_A)\) et \(B(x_B, y_B, z_B)\). Le vecteur \(ec{AB}\) de \(A\) vers \(B\) a pour coordonnées :

  \[ ec{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A, z_B - z_A) \]

C'est comme si vous mesuriez comment vous déplacez pour aller de \(A\) à \(B\).

Résumé

• Les coordonnées d'un vecteur indiquent ses déplacements dans chaque direction.
• Dans le plan, deux coordonnées \((x, y)\), dans l'espace, trois coordonnées \((x, y, z)\).
• Pour trouver les coordonnées du vecteur entre deux points, soustrayez leurs coordonnées respectives.

Les coordonnées permettent de manipuler facilement les vecteurs, comme donner leur "adresse" dans l'espace.