Les coordonnées d’un vecteur

Introduction

En géométrie dans le plan ou dans l’espace, les vecteurs sont souvent représentés par des coordonnées. Cela permet de simplifier leur étude et de faire des calculs plus facilement.

Définition des coordonnées d’un vecteur

Considérons un vecteur \(ec{AB}\) dans le plan, où \(A\) et \(B\) sont deux points aux coordonnées \(A(x_A, y_A)\) et \(B(x_B, y_B)\).

Les coordonnées du vecteur \(ec{AB}\) sont données par :

• \( \Delta x = x_B - x_A \) (différence des abscisses)
• \( \Delta y = y_B - y_A \) (différence des ordonnées)

On note alors :

\( ec{AB} = \left( \Delta x, \Delta y ight) = \left( x_B - x_A, y_B - y_A ight) \)

Exemple illustratif

Si \(A(2, 3)\) et \(B(5, 7)\), alors :

• \( \Delta x = 5 - 2 = 3 \)
• \( \Delta y = 7 - 3 = 4 \)

Les coordonnées du vecteur \(ec{AB}\) sont donc \(\left( 3, 4 ight)\).

Utilité des coordonnées

Les coordonnées permettent :

• de représenter graphiquement un vecteur en utilisant deux nombres
• de faire des calculs en géométrie comme la somme ou la différence de vecteurs
• de déterminer la longueur ou la direction d’un vecteur

Résumé

Les coordonnées d’un vecteur \(ec{AB}\) dans le plan sont données par la différence de ses points de départ et d’arrivée :

\[ oxed{\left( x_B - x_A, y_B - y_A ight)} \]

Ce concept est essentiel pour l’étude des vecteurs en 3ème, notamment dans le contexte de la géométrie analytique.