Introduction aux vecteurs

Un vecteur est une grandeur qui possède à la fois une direction, un sens et une norme (longueur). On peut le représenter par une flèche.

Par exemple, si tu te déplaces d’un point A à un point B, le déplacement peut être représenté par un vecteur {AB}.

Coordonnées d’un vecteur

Dans le plan, si tu as un point A(x₁, y₁) et un point B(x₂, y₂), le vecteur \(ec{AB}\) a pour coordonnées :

\[ ec{AB} = (x_2 - x_1,\, y_2 - y_1) \]

Ce qui signifie qu’il suffit de faire la soustraction des coordonnées pour connaître la direction et la longueur du vecteur.

Calculs avec les vecteurs

1. Addition de vecteurs

Pour additionner deux vecteurs \(ec{u} = (u_x, u_y)\) et \(ec{v} = (v_x, v_y)\), on fait :

\[ ec{u} + ec{v} = (u_x + v_x,\ v_y + v_y) \]

C’est comme faire la somme des déplacements dans chaque direction.

2. Soustraction de vecteurs

Pour soustraire, on calcule :

\[ ec{u} - ec{v} = (u_x - v_x,\ u_y - v_y) \]

Ce qui représente le déplacement nécessaire pour aller d’un vecteur à l’autre.

3. Multiplication d’un vecteur par un nombre

Multiplier un vecteur \(ec{u} = (u_x, u_y)\) par un nombre \(k\) donne :

\[ k imes ec{u} = (k imes u_x,\ k imes u_y) \]

Cela change la longueur du vecteur, mais conserve sa direction (ou l’inverse si \(k\) est négatif).

4. Exemple concret

Supposons : \(ec{u} = (3, 4)\) et \(ec{v} = (1, -2)\).

- Addition : \(ec{u} + ec{v} = (3+1, 4+(-2)) = (4, 2)\)

- Multiplication par 2 : \(2 imes ec{u} = (6, 8)\)