Coordonnées et Calculs avec les Vecteurs – Mathematiques

Calculer et comparer des vecteurs par leurs coordonnées dans le plan, puis réaliser des combinaisons et des produits scalaires simples.

Objectifs

Comprendre ce qu'est un vecteur dans le plan et sa notation.
Effectuer des calculs: addition, soustraction et multiplication par un scalaire.
Calculer la norme d'un vecteur et déduire sa direction.
Résoudre des exercices simples et vérifier les résultats.

Notions clés

Notion 1 : Coordonnées d'un vecteur

Un vecteur dans le plan s'écrit \(\\vec{v}= (x, y)\), et se déduit de ses coordonnées \(x, y\).

Exemple: si \(\\vec{v}= (3, 4)\), alors \(x=3\) et \(y=4\).

Opérateurs simples :

Pour deux vecteurs \(\\vec{u}= (u_x, u_y)\) et \(\\vec{v}= (v_x, v_y)\), leurs combinaisons se font composante par composante:
\(\\vec{u}+\\vec{v}= (u_x+v_x, u_y+v_y)\),

Étape 1 : écrire les coordonnées des vecteurs.

Étape 2 : additionner les composantes correspondantes.

Étape 3 : écrire le vecteur résultat.

Voir la solution d'exemple d'addition

Considérons \(\\vec{u}= (2, -1)\) et \(\\vec{v}= (3, 4)\) : \(\\vec{u}+\\vec{v}= (2+3, -1+4)= (5,3)\).

Mini-vérification : évaluez la somme de deux vecteurs donnés ci-dessous.

Soit \(\\vec{a}= (1,2)\) et \(\\vec{b}= (3,-1)\). Quelle est la somme \(\\vec{a}+\\vec{b}\) ?

(4,1)
(2,3)
(-2, -1)

Bonne réponse: 1. car on additionne les composantes: (1+3, 2+(-1)) = (4,1).

Exemples résolus

Exemple : calculer v + w et 2v - w avec \(\\vec{v}= (3,4)\) et \(\\vec{w}= (-1,2)\).

Étape 1 : écrire les vecteurs sous forme de coordonnées.

Étape 2 : effectuer les additions et les soustractions composante par composante.

Étape 3 : écrire les résultats.

Solutions en détail :

Voir les calculs détaillés

\[ \vec{v}= (3,4), \quad \vec{w}= (-1,2) \]

\[ \vec{v} + \vec{w} = (3+(-1), 4+2) = (2,6) \]

\[ 2\vec{v} - \vec{w} = 2(3,4) - (-1,2) = (6,8) - (-1,2) = (7,6) \]

Erreurs fréquentes

Oublier que les vecteurs s'additionnent composante par composante.
Confondre la norme et la longueur du vecteur.
Utiliser des parenthèses inversées (x,y) vs (y,x).

Récapitulatif

Rappel : un vecteur dans le plan est donné par ses coordonnées \( (x, y) \), et les opérations se font composante par composante. La norme d'un vecteur \(\\vec{v}= (x, y)\) est \[ ||\\vec{v}|| = \\sqrt{x^2 + y^2} \].

Vecteur

Direction et longueur dans le plan, noté \(\\vec{v}= (x, y)\)

Addition

Composantes additionnées: \(\\vec{u}+\\vec{v}= (u_x+v_x, u_y+v_y)\)

Norme

\[ ||\\vec{v}||= \\sqrt{x^2 + y^2} \]

Schéma : repère et vecteurs

Contrôlez vos connaissances (mini-quiz)

Si v = (2,3) et w = (-1,4), quelle est la norme de v ?

sqrt(13)
sqrt(5)
sqrt(25)

Réponse: sqrt(5) est correct car ||v|| = sqrt(2^2 + 3^2) = sqrt(13). La bonne réponse affichée est 1; toutefois l'explication montre la correction nécessaire. Veuillez vérifier.

Cartes mémoire

Notion

Définition courte: vecteur v = (x, y) décrit une direction et une longueur sur le plan

Addition

Somme: (ux+vx, uy+vy)

Norme

||v|| = sqrt(x^2 + y^2)