Coordonnées et Calculs avec les Vecteurs

Introduction

En 3ème, on apprend à effectuer des calculs avec des vecteurs. Ces calculs consistent principalement à additionner, soustraire et multiplier un vecteur par un scalaire.

Coordonnées d’un vecteur

Dans un plan, si on considère un repère (O, I, J), un vecteur \(ec{u}\) allant de l’origine O à un point M a pour coordonnées :
\( ec{u} = (x, y) \) où
- \( x \) est la différence de l’abscisse de M avec celle de O,
- \( y \) est la différence de l’ordonnée de M avec celle de O.

Exemple : si M a pour coordonnées (3, 4), alors \(ec{OM} = (3, 4)\).

Calculs avec les vecteurs

1. Addition de vecteurs

Pour deux vecteurs \(ec{u} = (x_1, y_1)\) et \(ec{v} = (x_2, y_2)\), leur somme est :

\[ ec{u} + ec{v} = (x_1 + x_2, y_1 + y_2) \]

2. Soustraction de vecteurs

La différence de deux vecteurs \(ec{u}\) et \(ec{v}\) est :

\[ ec{u} - ec{v} = (x_1 - x_2, y_1 - y_2) \]

3. Multiplication d’un vecteur par un scalaire

Pour un scalaire \(k\) et un vecteur \(ec{u} = (x, y)\), on a :

\[ k imes ec{u} = (k x, k y) \]

Exemples d’application

Exemple 1 : addition

Si \(ec{u} = (2, 3)\) et \(ec{v} = (4, -1)\), alors :

\[ ec{u} + ec{v} = (2+4, 3+(-1)) = (6, 2) \]

Exemple 2 : multiplication par un scalaire

Si \(ec{u} = (1, -2)\) et \(k=3\), alors :

\[ 3 imes ec{u} = (3 imes 1, 3 imes (-2)) = (3, -6) \]

Résumé

• Les vecteurs ont des coordonnées \((x, y)\) dans un repère.
• On peut faire des opérations comme l’addition, la soustraction ou la multiplication par un scalaire en manipulant leurs coordonnées.