Objectifs

• Définir un couple et utiliser l'égalité de deux couples.
• Écrire en extension le produit cartésien de deux ensembles finis.
• Représenter \(E \times F\) par un tableau, un arbre ou un repère.
• Calculer le cardinal d'un produit cartésien : \(\mathrm{card}(E \times F) = \mathrm{card}(E) \times \mathrm{card}(F)\).
• Étendre la notion aux triplets et à \(E^n\).

1. La notion de couple

Notions clés

Soit \(a\) et \(b\) deux objets. Le couple \((a\,;\,b)\) est la donnée de \(a\) et de \(b\) dans cet ordre :

• \(a\) est la première composante (ou première coordonnée) ;
• \(b\) est la deuxième composante.

Conséquence : si \(a \neq b\), alors \((a\,;\,b) \neq (b\,;\,a)\). Un couple n'est donc pas un ensemble : \(\{a\,;\,b\} = \{b\,;\,a\}\) (dans un ensemble l'ordre ne compte pas), alors que \((a\,;\,b)\) et \((b\,;\,a)\) sont en général différents. De plus, dans un couple, on peut répéter un objet : \((2\,;\,2)\) est un couple tout à fait correct.

2. Le produit cartésien de deux ensembles

Définition

Soit \(E\) et \(F\) deux ensembles. Le produit cartésien de \(E\) par \(F\), noté \(E \times F\) (on lit « \(E\) croix \(F\) »), est l'ensemble de tous les couples dont la première composante est dans \(E\) et la deuxième dans \(F\) :

Lorsque \(F = E\), on note \(E \times E = E^2\) (« \(E\) deux »). Par exemple \(\mathbb{R}^2 = \mathbb{R} \times \mathbb{R}\) est l'ensemble des couples de réels : ce sont les coordonnées des points du plan muni d'un repère.

Pour le maquis :

Trois façons de représenter \(E \times F\)

a) L'arbre de choix : on choisit d'abord le plat, puis la boisson. Chaque chemin complet donne un couple.

flowchart LR
  D[Choix] --> R[Riz]
  D --> A[Attiéké]
  D --> O[Foutou]
  R --> R1[Bissap]
  R --> R2[Gingembre]
  A --> A1[Bissap]
  A --> A2[Gingembre]
  O --> O1[Bissap]
  O --> O2[Gingembre]

b) Le tableau à double entrée : les lignes pour \(E\), les colonnes pour \(F\) ; chaque case contient un couple.

c) Le diagramme cartésien : on place \(E\) sur l'axe horizontal et \(F\) sur l'axe vertical ; chaque couple est un point du quadrillage.

Le cardinal d'un produit cartésien

Le cardinal d'un ensemble fini, noté \(\mathrm{card}(E)\), est son nombre d'éléments. Dans l'arbre, chaque plat (3 choix) se prolonge par chaque boisson (2 choix) : il y a \(3 \times 2 = 6\) chemins.

3. Les produits de plusieurs ensembles

Un triplet \((a\,;\,b\,;\,c)\) est la donnée de trois objets dans un ordre précis. Plus généralement, un \(n\)-uplet \((x_1\,;\,x_2\,;\,\ldots\,;\,x_n)\) en range \(n\).

Deux triplets sont égaux lorsque leurs composantes sont égales une à une, et le principe multiplicatif continue :

Erreurs fréquentes

Exercice d'entraînement

Soit \(E = \{-1\,;\,0\,;\,1\}\). a) Combien d'éléments contient \(E^2\) ? b) Écrire l'ensemble \(D\) des couples \((x\,;\,y)\) de \(E^2\) tels que \(x + y = 0\).

Récapitulatif

• Un couple \((a\,;\,b)\) range deux objets dans un ordre : \((a\,;\,b) = (c\,;\,d) \iff a = c\) et \(b = d\).
• \(E \times F\) est l'ensemble de tous les couples \((x\,;\,y)\) avec \(x \in E\) et \(y \in F\) ; on le représente par un arbre, un tableau ou un diagramme cartésien.
• \(\mathrm{card}(E \times F) = \mathrm{card}(E) \times \mathrm{card}(F)\) ; \(E \times \varnothing = \varnothing\) ; en général \(E \times F \neq F \times E\).
• Avec trois ensembles ou plus, on forme des triplets et des \(n\)-uplets : \(\mathrm{card}(E^n) = \left(\mathrm{card}(E)\right)^n\).