Courbes représentatives de fonctions

Pour tracer la courbe d'une fonction, on rassemble des indices (dérivée, tableau de variations, extremums, tangentes, symétries, asymptotes, points remarquables) puis on relie le tout comme on trace un itinéraire sur une carte.

Objectifs

Lire graphiquement des images, des antécédents, le sens de variation et les extremums.
Relier le signe de la dérivée, le tableau de variations et l'allure de la courbe.
Déterminer l'équation d'une tangente et l'utiliser pour tracer.
Montrer qu'une droite est axe de symétrie ou qu'un point est centre de symétrie d'une courbe.
Reconnaître les asymptotes d'une fonction rationnelle simple.
Suivre un plan d'étude complet pour construire une courbe.

1. Courbe représentative et lecture graphique

Soit \(f\) une fonction définie sur un ensemble \(D_f\). Dans un repère \((O;\vec{i},\vec{j})\), sa courbe représentative \(\mathcal{C}_f\) est l'ensemble des points \(M(x\,;\,y)\) tels que \[ x \in D_f \quad \text{et} \quad y = f(x). \]

Image de \(a\) : l'ordonnée du point de \(\mathcal{C}_f\) d'abscisse \(a\), c'est-à-dire \(f(a)\).
Antécédents de \(b\) : les abscisses des points d'intersection de \(\mathcal{C}_f\) avec la droite d'équation \(y = b\).
Les solutions de \(f(x) = 0\) sont les abscisses des points où \(\mathcal{C}_f\) coupe l'axe des abscisses ; \(f(0)\) est l'ordonnée du point où elle coupe l'axe des ordonnées.
\(f(x) > 0\) là où la courbe est au-dessus de l'axe des abscisses.

Les solutions de l'équation \(f(x) = 2\) se lisent graphiquement comme…

les ordonnées des points de la courbe d'abscisse 2
les abscisses des points d'intersection de la courbe avec la droite d'équation \(y = 2\)
la valeur de \(f(0)\)

On cherche les \(x\) dont l'image vaut 2 : ce sont les abscisses des points de la courbe situés à la hauteur \(y = 2\).

2. Dérivée, variations et extremums

Soit \(f\) dérivable sur un intervalle \(I\) :

si \(f'(x) \geq 0\) sur \(I\) (nulle seulement en des points isolés), alors \(f\) est croissante sur \(I\) ;
si \(f'(x) \leq 0\) sur \(I\) (nulle seulement en des points isolés), alors \(f\) est décroissante sur \(I\) ;
si \(f'\) s'annule en \(a\) en changeant de signe, alors \(f\) admet un extremum local en \(a\) (maximum si \(f'\) passe de \(+\) à \(-\), minimum si \(f'\) passe de \(-\) à \(+\)).

On résume ces informations dans un tableau de variations : une ligne pour le signe de \(f'(x)\), une ligne de flèches pour \(f\), avec les valeurs des extremums.

Exemple résolu 1 : étudier \(f(x) = x^3 - 3x + 1\)

Étudie les variations de \(f\) sur \(\mathbb{R}\) et dresse son tableau de variations. Cherche d'abord.

Dérivée : \[ f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1) = 3(x - 1)(x + 1). \]

Signe : \(f'(x)\) est un trinôme de coefficient \(3 > 0\), de racines \(-1\) et \(1\). Il est positif à l'extérieur des racines et négatif entre elles : \(f'(x) > 0\) sur \(]-\infty\,;\,-1[\) et sur \(]1\,;\,+\infty[\), \(f'(x) < 0\) sur \(]-1\,;\,1[\).

Valeurs des extremums : \begin{align} f(-1) &= (-1)^3 - 3(-1) + 1 = -1 + 3 + 1 = 3, \\ f(1) &= 1^3 - 3 \times 1 + 1 = 1 - 3 + 1 = -1. \end{align}

Conclusion : \(f\) est croissante sur \(]-\infty\,;\,-1]\), décroissante sur \([-1\,;\,1]\), croissante sur \([1\,;\,+\infty[\). Elle admet un maximum local \(3\) en \(-1\) et un minimum local \(-1\) en \(1\). \[ \begin{array}{c|ccccccc} x & -\infty & & -1 & & 1 & & +\infty \\ \hline f'(x) & & + & 0 & - & 0 & + & \\ \hline f(x) & & \nearrow & 3 & \searrow & -1 & \nearrow & \end{array} \]

Sur un intervalle, \(f'(x) < 0\). Que peut-on dire de la courbe de \(f\) ?

Elle est au-dessous de l'axe des abscisses
Elle monte quand on la parcourt de gauche à droite
Elle descend quand on la parcourt de gauche à droite

Une dérivée négative signifie que \(f\) est décroissante : la courbe descend. Le signe de \(f'\) ne dit rien sur le signe de \(f\) elle-même.

3. Tangentes

Si \(f\) est dérivable en \(a\), la tangente à \(\mathcal{C}_f\) au point d'abscisse \(a\) est la droite de coefficient directeur \(f'(a)\) passant par \(A(a\,;\,f(a))\). Son équation est : \[ y = f'(a)(x - a) + f(a). \]

Si \(f'(a) = 0\), la tangente est horizontale : c'est le cas en un extremum.
Pour tracer une courbe, on trace d'abord quelques tangentes : la courbe s'y « appuie ».

Manipule la tangente

Le curseur \(a\) déplace le point de contact sur la courbe de \(f(x) = x^3 - 3x + 1\). Observe : pour quelles valeurs de \(a\) la tangente est-elle horizontale ?

Pour \(a = -1\) et \(a = 1\), la tangente est horizontale, car \(f'(-1) = f'(1) = 0\) : ce sont les extremums trouvés plus haut.

Exemple résolu 2 : tangente en 0

Détermine l'équation de la tangente \(T\) à la courbe de \(f(x) = x^3 - 3x + 1\) au point d'abscisse \(0\). Cherche d'abord.

Voir la solution

On calcule \(f(0) = 1\) et \(f'(0) = 3 \times 0^2 - 3 = -3\). Donc :

\[ T : y = -3(x - 0) + 1 \quad \Longleftrightarrow \quad y = -3x + 1. \]

Vérification : le point \((0\,;\,1)\) est bien sur \(T\) car \(-3 \times 0 + 1 = 1\).

Soit \(g(x) = x^2\). Quelle est l'équation de la tangente à sa courbe au point d'abscisse \(1\) ?

\(y = 2x - 1\)
\(y = 2x + 1\)
\(y = x + 1\)

\(g(1) = 1\) et \(g'(1) = 2\), donc \(y = 2(x - 1) + 1 = 2x - 1\).

4. Éléments de symétrie

Soit \(f\) définie sur \(D_f\) et \(a\), \(b\) deux réels.

La droite d'équation \(x = a\) est un axe de symétrie de \(\mathcal{C}_f\) si, pour tout \(x \in D_f\), on a \(2a - x \in D_f\) et : \[ f(2a - x) = f(x). \]
Le point \(\Omega(a\,;\,b)\) est un centre de symétrie de \(\mathcal{C}_f\) si, pour tout \(x \in D_f\), on a \(2a - x \in D_f\) et : \[ f(2a - x) + f(x) = 2b. \]
Cas particuliers : \(f\) paire (\(f(-x) = f(x)\)) : axe des ordonnées ; \(f\) impaire (\(f(-x) = -f(x)\)) : centre \(O\).

Exemple résolu 3 : un centre de symétrie

Montre que le point \(I(0\,;\,1)\) est centre de symétrie de la courbe de \(f(x) = x^3 - 3x + 1\). Cherche d'abord.

Ici \(a = 0\) et \(b = 1\) ; \(D_f = \mathbb{R}\), donc si \(x \in \mathbb{R}\), alors \(-x \in \mathbb{R}\).

On calcule : \[ f(-x) = (-x)^3 - 3(-x) + 1 = -x^3 + 3x + 1. \]

On additionne : \[ f(-x) + f(x) = (-x^3 + 3x + 1) + (x^3 - 3x + 1) = 2 = 2 \times 1. \]

Conclusion : \(I(0\,;\,1)\) est centre de symétrie de \(\mathcal{C}_f\). On retrouve que le maximum \((-1\,;\,3)\) et le minimum \((1\,;\,-1)\) sont symétriques par rapport à \(I\) : leur milieu est \(\left(0\,;\,\frac{3 + (-1)}{2}\right) = (0\,;\,1)\).

Pour \(h(x) = x^2 - 4x + 3\), quelle droite est axe de symétrie de la courbe ?

\(x = 0\)
\(x = 2\)
\(x = 3\)

\(h(4 - x) = (4 - x)^2 - 4(4 - x) + 3 = x^2 - 4x + 3 = h(x)\), donc \(f(2a - x) = f(x)\) avec \(a = 2\). C'est l'axe de la parabole, passant par son sommet.

5. Asymptotes d'une fonction rationnelle

Si \(\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = \pm\infty\), la droite d'équation \(x = a\) est asymptote verticale à \(\mathcal{C}_f\).
Si \(\displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = b\), la droite d'équation \(y = b\) est asymptote horizontale en \(\pm\infty\).
Si \(\displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} \big(f(x) - (mx + p)\big) = 0\), la droite d'équation \(y = mx + p\) est asymptote oblique.

Exemple résolu 4 : \(g(x) = \dfrac{2x + 1}{x - 1}\)

Étudie \(g\) sur \(D_g = \mathbb{R} \setminus \{1\}\) : variations, asymptotes et centre de symétrie. Cherche d'abord.

Dérivée (forme \(\frac{u}{v}\)) : \[ g'(x) = \frac{2(x - 1) - (2x + 1) \times 1}{(x - 1)^2} = \frac{-3}{(x - 1)^2}. \] Elle est strictement négative : \(g\) est décroissante sur \(]-\infty\,;\,1[\) et sur \(]1\,;\,+\infty[\).

En \(1\) : le numérateur tend vers \(3\) et le dénominateur vers \(0\), donc \(\lim_{x \to 1^-} g(x) = -\infty\) et \(\lim_{x \to 1^+} g(x) = +\infty\). La droite \(x = 1\) est asymptote verticale.

En \(\pm\infty\) : \[ g(x) = \frac{x\left(2 + \frac{1}{x}\right)}{x\left(1 - \frac{1}{x}\right)} \longrightarrow 2. \] La droite \(y = 2\) est asymptote horizontale.

Centre de symétrie \(\Omega(1\,;\,2)\), intersection des asymptotes : \[ g(2 - x) + g(x) = \frac{5 - 2x}{1 - x} + \frac{2x + 1}{x - 1} = \frac{2x - 5 + 2x + 1}{x - 1} = \frac{4(x - 1)}{x - 1} = 4 = 2 \times 2. \]

Points remarquables : \(g(0) = -1\) (intersection avec l'axe des ordonnées) et \(g(x) = 0 \iff x = -\frac{1}{2}\) (intersection avec l'axe des abscisses).

Vérifie sur le graphique : la courbe s'approche des droites \(x = 1\) et \(y = 2\). Le curseur \(k\) remplace le numérateur \(2x + 1\) par \(kx + 1\) : l'asymptote horizontale devient \(y = k\).

Quelles sont les asymptotes de la courbe de \(g(x) = \dfrac{2x + 1}{x - 1}\) ?

\(x = 2\) et \(y = 1\)
\(x = -1\) et \(y = 2\)
\(x = 1\) et \(y = 2\)

Le dénominateur s'annule en \(1\) : asymptote verticale \(x = 1\). Le quotient des termes de plus haut degré donne \(\frac{2x}{x} = 2\) : asymptote horizontale \(y = 2\).

6. Le plan d'étude et le tracé

flowchart LR
  A[Ensemble de definition] --> B[Symetries eventuelles]
  B --> C[Limites et asymptotes]
  C --> D[Derivee et son signe]
  D --> E[Tableau de variations]
  E --> F[Tangentes et points remarquables]
  F --> G[Trace de la courbe]

Le tracé de \(f(x) = x^3 - 3x + 1\), étape par étape

On place les extremums lus dans le tableau de variations, avec leurs tangentes horizontales.

On place le centre de symétrie I et la tangente en I, de coefficient directeur −3.

On trace la courbe : elle monte, s'arrondit sur la tangente horizontale au maximum, descend en traversant sa tangente en I, s'arrondit au minimum puis remonte.

Dans quel ordre est-il le plus logique de travailler ?

Ensemble de définition, dérivée et signe, tableau de variations, tracé
Tracé, tableau de variations, dérivée
Tableau de variations, ensemble de définition, dérivée

On ne peut pas dériver sans connaître l'ensemble de définition, ni dresser le tableau sans le signe de la dérivée ; le tracé vient en dernier.

Erreurs fréquentes

Oublier les valeurs interdites et relier la courbe d'une fonction rationnelle à travers son asymptote verticale.
Croire que \(f'(a) = 0\) donne toujours un extremum (contre-exemple : \(x^3\) en 0).
Écrire la tangente \(y = f'(a)x + f(a)\) en oubliant le \(-a\) : la bonne formule est \(y = f'(a)(x - a) + f(a)\).
Tracer des « pointes » aux extremums : en un extremum d'une fonction dérivable, la tangente est horizontale, la courbe est arrondie.

Récapitulatif

\(\mathcal{C}_f\) est l'ensemble des points \(M(x\,;\,f(x))\) avec \(x \in D_f\).
Signe de \(f'\) : sens de variation ; changement de signe de \(f'\) : extremum.
Tangente en \(a\) : \(y = f'(a)(x - a) + f(a)\).
Axe \(x = a\) : \(f(2a - x) = f(x)\) ; centre \(\Omega(a\,;\,b)\) : \(f(2a - x) + f(x) = 2b\).
Asymptotes : verticale en une valeur interdite où la limite est infinie, horizontale quand la limite à l'infini est finie.

Cartes mémo

Courbe représentative

Ensemble des points \(M(x\,;\,f(x))\) avec \(x \in D_f\).

Dérivée et variations

\(f' > 0\) : \(f\) croissante ; \(f' < 0\) : \(f\) décroissante.

Extremum local

\(f'\) s'annule en changeant de signe ; la tangente y est horizontale.

Équation de la tangente

\(y = f'(a)(x - a) + f(a)\)

Centre de symétrie

\(\Omega(a\,;\,b)\) si \(f(2a - x) + f(x) = 2b\).

Asymptote horizontale

\(y = b\) si \(\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = b\).