Thème 1 : Probabilités

Introduction aux probabilités

Les probabilités permettent d'évaluer la chance qu'un événement se produise. Elles sont comprises entre 0 (implausible) et 1 (certain).

Événements et expériences aléatoires

Une expérience aléatoire est une expérience dont le résultat ne peut pas être prévu à l'avance. Un événement est un résultat ou un ensemble de résultats possibles.

Exemple

Lorsqu'on lance un dé à 6 faces, le résultat peut être un nombre entre 1 et 6. Le faire obtenir un nombre pair (2, 4, 6) est un événement.

Probabilité d'un événement simple

Si toutes les issues sont équiprobables, la probabilité de l'événement A est :

    P(A) = équilibre des issues favorables / nombre total d'issues possibles

Exemple : la probabilité d'obtenir un 3 lors d'un lancer de dé :

\( P( ext{obtenir un 3}) = rac{1}{6} \)

Calculs de probabilités

Cas de base : événements équiprobables

Pour un dé à 6 faces :

\[ P(A) = rac{ ext{nombre de issues favorables}}{ ext{nombre total d'issues}} = rac{ ext{nombre de cas favorables}}{6} \]

Exemples

• Probabilité d'obtenir un nombre supérieur à 4 : c'est 5 ou 6, donc 2 issues favorables :

\( P( ext{>4}) = rac{2}{6} = rac{1}{3} \)

• Probabilité d'obtenir un nombre impair : 1, 3, 5 :

\( P( ext{impairs}) = rac{3}{6} = rac{1}{2} \)

Propriétés des probabilités

• \( 0 \leq P(A) \leq 1 \) pour tout événement A.
• La somme des probabilités de tous les cas élémentaires est égale à 1.

Événements complémentaires

L'événement complémentaire \( A^c \) est l'événement « A ne se produit pas ».

Probabilité de l'événement complémentaire :

    P(A^c) = 1 - P(A)

Exemple : si la probabilité d'obtenir un 3 est \(rac{1}{6}\), alors :

\( P( ext{ne pas obtenir 3}) = 1 - rac{1}{6} = rac{5}{6} \)

Conclusion

Les probabilités sont une manière de modéliser l'incertitude. En nombre fini d'issues équiprobables, leur calcul repose simplement sur la proportion d'issues favorables.