Mathématiques : Vecteurs, Droites et Plans dans l’Espace

1. Combinaisons linéaires

Une combinaison linéaire de vecteurs est une expression de la forme :

α · →u + β · →v + ...

où α, β, ... sont des scalaires (nombres réels), et →u, →v, ... sont des vecteurs.

2. Colinéarité

Deux vecteurs →u et →v sont colinéaires s'il existe un scalaire λ tel que :

→v = λ · →u

En géométrie, cela signifie que les vecteurs sont parallèles ou antiparallèles.

3. Bases dans l’espace

a. Définition

Une base de l'espace vectoriel « E » est un ensemble de vecteurs « G » qui :

• sont linéairement indépendants,
• ouvert entièrement l'espace par leurs combinaisons linéaires.

b. Exemple

Dans « R^3 », la famille (→i, →j, →k) constitue une base standard, où :

→i = (1,0,0), →j = (0,1,0), →k = (0,0,1)

4. Application des concepts

Une famille de vecteurs¹ est une base si :

• Elle est libre (aucune combinaison linéaire non triviale ne donne le vecteur nul).
• Elle engendre l’espace (tous les vecteurs peuvent s’écrire comme une combinaison linéaire des vecteurs de la famille).

Pour vérifier si un vecteur peut s’écrire comme une combinaison linéaire d’autres, on résout un système d’équations.

5. Résumé

• Les combinaisons linéaires permettent d’exprimer des vecteurs comme des sommes de vecteurs pondérés.
• Deux vecteurs colinéaires sont alignés, partageant une même droite dans l’espace.
• Une base est un ensemble minimal et suffisant pour construire tout l’espace par des combinaisons linéaires.