Vecteurs : Applications géométriques

1. Introduction aux vecteurs

Un vecteur est une quantité qui possède une direction, un sens et une norme. On le note généralement par une flèche, par exemple → extit{AB} qui représente le déplacement du point A au point B.

2. Représentation graphique

Le vecteur → extit{AB} est représenté graphiquement par une flèche allant du point A au point B. La longueur de cette flèche correspond à la norme du vecteur.

3. Notation et calculs

Si on connaît les coordonnées des points A(x₁, y₁) et B(x₂, y₂), alors le vecteur \(ec{AB}\) a pour coordonnées :

→ 	extit{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1)

Sa norme (longueur) se calcule par :

|\(ec{AB}\)| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}

4. Applications géométriques

4.1. Définition du vecteur directeur d'une droite

Une droite peut être représentée par un point M(x_M, y_M) et un vecteur directeur \(ec{u}\). La droite est l'ensemble des points N(x, y) tels que :

(x - x_M, y - y_M) = \lambda \cdot ec{u} \quad 	ext{avec } \lambda \in \mathbb{R}

4.2. Equations paramétriques d'une droite

Si \(ec{u} = (a, b)\), alors l'ensemble des points N(x, y) de la droite vérifie :

x = x_M + \lambda a

y = y_M + \lambda b

4.3. Définition de l'égalité de deux vecteurs

Deux vecteurs \(ec{u}\) et \(ec{v}\) sont égaux s'ils ont la même norme et la même direction, lesquelles peuvent différer par un même facteur de proportion :

ec{u} = k 	imes ec{v} \quad 	ext{avec } k > 0

5. Résumé

• Le vecteur définit une orientation, une direction et une longueur.
• Les coordonnées d'un vecteur sont calculées à partir de deux points.
• Les applications géométriques se basent principalement sur la notion de vecteur directeur et d'équations paramétriques.

6. Exemple simple

Soient A(1, 2) et B(4, 6). Le vecteur \(ec{AB}\) a pour coordonnées :

→ 	extit{AB} = (4 - 1, 6 - 2) = (3, 4)

Sa norme est :

|\(ec{AB}\)| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = 5

Ce vecteur peut servir à définir la direction d'une droite ou à effectuer des calculs géométriques.