Probabilités sur un univers fini

Introduction

En deuxième, on étudie la notion de probabilité dans un univers fini, c’est-à-dire un ensemble fini d’issues possibles. Chaque issue a une certaine chance de se produire. Nous verrons comment définir et manipuler ces probabilités.

1. Loi de probabilité

Dans un univers fini, une loi de probabilité est une règle qui attribue à chaque issue \( \omega \) une probabilité \( P(\omega) \), telle que :

• \( P(\omega) \geq 0 \) pour tout \( \omega \),
• La somme des probabilités de toutes les issues possibles est égale à 1 :

\( \sum_{\omega \in \Omega} P(\omega) = 1 \)

2. Événements

Un événement est un sous-ensemble de l’univers \( \Omega \). Par exemple, si \( \Omega \) représente les résultats d’un dé à 6 faces, l’événement « obtenir un nombre pair » correspond à \( \{2, 4, 6\} \).

3. Union, intersection et complémentaire

Union

L’union de deux événements \( A \) et \( B \), notée \( A \cup B \), correspond à l’événement « A ou B ou les deux ». C’est l’ensemble des issues qui appartiennent à au moins un des deux événements :

\( A \cup B = \{ \omega \mid \omega \in A ext{ ou } \omega \in B \} \)

Intersection

L’intersection de deux événements \( A \) et \( B \), notée \( A \cap B \), correspond à l’événement « A et B simultanément ». C’est l’ensemble des issues communes aux deux événements :

\( A \cap B = \{ \omega \mid \omega \in A ext{ et } \omega \in B \} \)

Complémentaire

Le complémentaire de l’événement \( A \), noté \( A^c \), est l’ensemble des issues qui ne sont pas dans \( A \). Si \( \Omega \) est l’univers, alors :

\( A^c = \Omega \setminus A \)

Et on a la relation :

\( P(A^c) = 1 - P(A) \)

Conclusion

Les lois de probabilité et les opérations sur les événements sont fondamentales pour comprendre et calculer les probabilités dans un univers fini. Leur maîtrise permet d’analyser différents phénomènes aléatoires au collège.