Calcul vectoriel et produit scalaire

Propriétés du produit scalaire

1. La bilinéarité

Le produit scalaire \(\cdot\) est une opération bilinéaire. Cela signifie qu'il est linéaire par rapport à chaque vecteur lorsqu'on fixe l'autre :

• Pour tous vecteurs \( ec{u}, ec{v}, ec{w} \) et tout scalaire \( \lambda \) :
  • \( (ec{u} + ec{v}) \cdot ec{w} = ec{u} \cdot ec{w} + ec{v} \cdot ec{w} \)
  • \( ec{u} \cdot (ec{v} + ec{w}) = ec{u} \cdot ec{v} + ec{u} \cdot ec{w} \)
  • \( (\lambda ec{u}) \cdot ec{v} = \lambda (ec{u} \cdot ec{v}) \)
  • \( ec{u} \cdot (\lambda ec{v}) = \lambda (ec{u} \cdot ec{v}) \)

2. La symétrie

Le produit scalaire est une opération symétrique, c'est-à-dire :

\[ orall ec{u}, ec{v} ext{ dans l'espace vectoriel}, \quad ec{u} \cdot ec{v} = ec{v} \cdot ec{u} \]

Cette propriété implique que l'ordre des vecteurs n'altère pas le résultat du produit scalaire.

Résumé

• Bilinéraire : linéaire dans chaque argument.
• Symétrie : le produit scalaire est égal lorsque l'on échange les deux vecteurs.