Calcul vectoriel et produit scalaire

Propriétés du produit scalaire

1. La bilinéarité

Le produit scalaire \(\cdot\) est une opération bilinéaire. Cela signifie qu'il est linéaire par rapport à chaque vecteur lorsqu'on fixe l'autre :

• Pour tous vecteurs \( \vec{u}, \vec{v}, \vec{w} \) et tout scalaire \( \lambda \) :
  • \( (\vec{u} + \vec{v}) \cdot \vec{w} = \vec{u} \cdot \vec{w} + \vec{v} \cdot \vec{w} \)
  • \( \vec{u} \cdot (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{u} \cdot \vec{w} \)
  • \( (\lambda \vec{u}) \cdot \vec{v} = \lambda (\vec{u} \cdot \vec{v}) \)
  • \( \vec{u} \cdot (\lambda \vec{v}) = \lambda (\vec{u} \cdot \vec{v}) \)

2. La symétrie

Le produit scalaire est une opération symétrique, c'est-à-dire :

\[ \forall \vec{u}, \vec{v} \text{ dans l'espace vectoriel}, \quad \vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u} \]

Cette propriété implique que l'ordre des vecteurs n'altère pas le résultat du produit scalaire.

Résumé

• Bilinéraire : linéaire dans chaque argument.
• Symétrie : le produit scalaire est égal lorsque l'on échange les deux vecteurs.