Les Fonctions Linéaires

1. Définition

Une fonction est dite linéaire si elle peut s'écrire sous la forme :

f(x) = ax + b

où :

• a est la pente de la droite, elle indique la pente ou la vitesse de variation.
• b est l'ordonnée à l'origine, c'est le point où la droite coupe l'axe des ordonnées.

2. Représentation graphique

La représentation graphique d'une fonction linéaire est une droite dans le plan.

Pour tracer la droite :

• Tracer l'axe des abscisses (x) et l'axe des ordonnées (y).
• Calculer deux points en utilisant la formule \( y = ax + b \).
• Tracer la droite passant par ces deux points.

3. Exemple

Considérons la fonction \( f(x) = 2x + 3 \).

• La pente est \( a = 2 \), la droite monte de 2 unités en y pour chaque unité en x.
• L'ordonnée à l'origine est \( b = 3 \), donc la droite coupe l'axe des y en (0, 3).
• Pour x = 1, y = \( 2 imes 1 + 3 = 5 \) → point (1,5).
• Pour x = -1, y = \( 2 imes (-1) + 3 = 1 \) → point (-1,1).

En traçant ces deux points (0,3) et (1,5), la droite représentera la fonction.

4. Propriétés

• La fonction est croissante si \( a > 0 \).
\>
• La fonction est décroissante si \( a < 0 \).
• La fonction est constante si \( a = 0 \) (horizontal).

5. Résolution d’un problème avec une fonction linéaire

Exemple : Si une voiture parcourt 60 km en 2 heures, quelle est sa vitesse ?

• On définit \( f(t) \) la distance en km en fonction du temps en heures t.
• La vitesse est \( a = rac{ ext{distance}}{ ext{temps}} = rac{60}{2} = 30 \) km/h, donc \( f(t) = 30t \).

Pour trouver la distance parcourue en 3 heures : \( f(3) = 30 imes 3 = 90 \) km.

Conclusion

Les fonctions linéaires sont très utiles pour modéliser des situations où une grandeur varie de façon constante. La compréhension de leur graphe, de leur formule et de leurs propriétés est essentielle en mathématiques.