Fractions Rationnelles - 1ère

Fractions Rationnelles

1. Définition

Une fraction rationnelle est une expression du type $\frac{P(x)}{Q(x)}$ , où $P(x)$ et $Q(x)$ sont des polynômes, et $Q(x) eq 0$.

2. Domaines de définition

La fonction rationnelle $f(x) = rac{P(x)}{Q(x)}$ est définie pour tous les réels $x$ tels que $\ Q(x) eq 0$.

En pratique, on résout l’équation $\ Q(x) = 0$ pour déterminer les valeurs interdites.

3. Exemples

Si $f(x) = rac{2x + 1}{x - 3}$, le domaine est $\mathbb{R} \setminus \{3\}$.
Si $f(x) = rac{x^2 - 4}{x + 2}$, le domaine est $\mathbb{R} \setminus \{-2\}$.

4. Simplification des fractions rationnelles

On peut simplifier une fraction si le numérateur et le dénominateur ont un facteur commun :

P(x) / Q(x) = \frac{U(x)}{V(x)}

où $\ U(x)$ et $V(x)$ sont des polynômes premiers entre eux.

5. Opérations sur les fractions rationnelles

Addition et soustraction

Pour additionner ou soustraire deux fractions rationnelles :

\(rac{P_1(x)}{Q_1(x)} \pm rac{P_2(x)}{Q_2(x)} = rac{P_1(x) 	imes Q_2(x) \pm P_2(x) 	imes Q_1(x)}{Q_1(x) 	imes Q_2(x)}\)

Multiplication

Pour multiplier deux fractions :

\(rac{P_1(x)}{Q_1(x)} 	imes rac{P_2(x)}{Q_2(x)} = rac{P_1(x) 	imes P_2(x)}{Q_1(x) 	imes Q_2(x)}\)

Division

Pour diviser deux fractions :

\(rac{P_1(x)}{Q_1(x)} \div rac{P_2(x)}{Q_2(x)} = rac{P_1(x)}{Q_1(x)} 	imes rac{Q_2(x)}{P_2(x)} = rac{P_1(x) 	imes Q_2(x)}{Q_1(x) 	imes P_2(x)}\)

Conclusion

Les fractions rationnelles permettent de représenter et de manipuler des expressions plus complexes en algèbre. Leur étude est essentielle pour comprendre la résolution d'équations et d'inégalités.