1. Limites finies

Soit (u_n) une suite. La limite finie L de la suite est un nombre réel tel que :

• Pour tout ε > 0, il existe un entier N tel que, pour tout n > N, |u_n - L| < ε.

En pratique, cela signifie que les termes de la suite se rapprochent arbitrairement de L à partir d’un certain rang.

2. Limites infinies

Une suite peut tendre vers +∞ ou –∞ lorsque ses termes deviennent arbitrairement grands (positivement ou négativement).

• Si pour tout M > 0, il existe N tel que pour tout n > N, u_n > M, alors lim u_n = +∞.
• Si pour tout M < 0, il existe N tel que pour tout n > N, u_n < M, alors lim u_n = –∞.

Ces limites indiquent que la suite n’a pas de limite finie mais qu’elle diverge vers l’infini.

3. Théorème des Gendarmes (ou Sandwich Théorème)

Ce théorème est utile pour déterminer la limite d’une suite encadrée.

Supposons que :

• Deux suites (v_n) et (w_n) telles que :
• v_n ≤ u_n ≤ w_n
• Et que :
• lim v_n = lim w_n = L

Alors :

• lim u_n = L

Ce théorème permet de conclure sur la limite d’une suite en l’encadrant entre deux autres suites convergentes vers la même limite.