1. Définition

Un polynôme en une variable \( x \) est une expression algébrique de la forme :

P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0

où :

• \( n \) est un entier naturel appelé degré du polynôme.
• \( a_n, a_{n-1}, \dots, a_0 \) sont des coefficients, avec \( a_n eq 0 \).

2. Exemples

• \( P(x) = 3x^2 - 2x + 1 \) est un polynôme de degré 2.
• \( Q(x) = -x^3 + 4x \) est un polynôme de degré 3.
• \( R(x) = 5 \) est un polynôme de degré 0 (constante).

3. Opérations sur les polynômes

Addition et soustraction

Pour additionner ou soustraire deux polynômes, on additionne ou soustrait leurs coefficients correspondants.

Multiplication

La multiplication se fait en développant, en utilisant la distributivité. Par exemple :

(a x^m + b)(c x^n + d) = a c x^{m+n} + a d x^m + b c x^n + b d

4. Résolution d'une équation polynomiale

Pour résoudre une équation comme \( P(x) = 0 \), il faut trouver les valeurs de \( x \) qui satisfont cette équation.

Exemples :

• Pour \( P(x) = x - 3 \), la solution est \( x = 3 \).
• Pour \( P(x) = x^2 - 4 \), les solutions sont \( x = \pm 2 \).

5. Théorème de Factorisation

Tout polynôme de degré \( n \) peut se décomposer en produits de polynômes de degré 1 si l'on connaît ses racines :

P(x) = a_n (x - r_1)(x - r_2) \dots (x - r_n)\

où \( r_1, r_2, ..., r_n \) sont les racines du polynôme.

6. Utilité des polynômes

• Modéliser des phénomènes dans différents domaines (physique, économie, etc.).
• Résoudre des équations dans diverses situations.