1. Introduction aux Suites

Une suite est une liste ordonnée de nombres, généralement notée (un). Elle peut être définie explicitement ou par une relation de récurrence.

2. Convergence d'une suite

Définition

Une suite (un) converge vers une limite L si, pour tout ε > 0, il existe N tel que pour tout n ≥ N, |un - L| < ε.

Notations

On écrit : un → L quand la suite converge vers L.

Critères de convergence

• Suite monotone et bornée : converge (Théorème de convergence).
• Utilisation des tests comparatifs ou de la limite des suites auxiliaires.

3. Récurrence

Définition

Une suite est définie par une relation de récurrence, par exemple :

un+1 = f(un)

avec un terme initial donné u₀.

Exemple

Pour la suite géométrique : u_n+1 = r u_n.

Résolution

• Étape 1 : Trouver la limite éventuelle L en résolvant L = f(L).
• Étape 2 : Vérifier si la suite converge vers L en utilisant des critères de stabilité.

4. Exemple d'étude de convergence par récurrence

Considérons la suite définie par :

u0 = 2, 
 un+1 = rac{un + 3}{2}

On cherche à savoir si elle converge :

• Supposons qu'elle converge vers L :
• L = (L + 3)/2 => 2L = L + 3 => L = 3.
• Vérification de la stabilité : |(f'(L))| = |1/2| < 1, donc la suite converge vers 3.