Suites — Convergence et récurrence

Comprendre quand une suite atteint une valeur stable et comment une récurrence peut conduire à cette valeur.

Objectifs

Savoir définir et reconnaître une suite convergente.
Savoir résoudre et analyser une récurrence simple et démontrer la convergence.
Utiliser des tests simples (monotonie, bornitude, contraction) pour justifier la convergence.
Maîtriser l’écrit mathématique avec les délimiteurs \(...\) et \[...\].

Notions clés

Convergence d'une suite : une suite \((u_n)_{n\ge 0}\) converge vers une limite L si et seulement si \( \\lim_{n\to\\infty} u_n = L \). En termes pratiques : pour tout \(\\varepsilon>0\), il existe \(N\) tel que pour tout n ≥ N, \\|u_n - L\\| < \\varepsilon.\)

Formalisme : \( \\lim_{n\to\\infty} u_n = L \) ssi \\forall \\varepsilon>0, \\exists N \\in \\mathbb{N}, \\forall n \\ge N, \\|u_n - L\\| < \\varepsilon. \)

Propriété liée : si une suite est monotone et bornée, elle converge. On montre alors que la limite est le point fixe de la fonction associée lorsque la récurrence est donnée sous forme fonctionnelle.

Récurrence et convergence : une suite est définie par une relation du type \\u2209u_{n+1} = f(u_n)\\. Si f est une contraction sur un intervalle et que u_0 appartient à cet intervalle, alors la suite converge vers L, le point fixe satisfaisant \(L=f(L)\).

Test rapide : si \(f\) est une contraction sur \([a,b]\) et que \(u_0\in[a,b]\), alors \\|u_n - L\\| ≤ k^n \\|u_0 - L\\| avec \(k<1\) et \(L=f(L)\).

Quelle affirmation est correcte concernant une suite convergente ?

La limite peut être nulle ou non nulle et dépend de la suite.
La limite est nécessairement unique.
La convergence implique nécessairement que la suite soit monotone.

La bonne réponse est 2 : une suite convergente a une limite unique; la monotone n’est pas nécessairement vérifiée.

Exemples résolus

Exemple : récurrence linéaire simple

On considère la suite définie par u₀ = 0 et u_n+1 = (u_n + 2)/2.

On cherche le comportement à partir d’une analyse par point fixe : si la suite converge vers L, alors L est solution de L = (L+2)/2 ce qui donne L = 2.

Étape 1 : trouver le point fixe

Étape 2 : montrer que la suite est croissante et bornée au-dessus par 2

Étape 3 : conclure la convergence vers 2

Justification par coût de contraction : on peut écrire \[ \begin{align} u_{n+1} &= \frac{u_n + 2}{2}, \\ u_0 &= 0 \\ \Rightarrow |u_{n+1} - 2| &= \left|\frac{u_n + 2}{2} - 2\right| = \frac{1}{2}|u_n - 2| \\ \Rightarrow |u_n - 2| &= 2 \left(\frac{1}{2}\right)^n \end{align} \]\]

Voir la solution

Développement explicite : \[ \begin{align} u_{n+1} - 2 &= \frac{u_n + 2}{2} - 2 = \frac{u_n - 2}{2} \\ |u_{n+1} - 2| &= \frac{1}{2} |u_n - 2| \\ |u_n - 2| &= 2 \left(\frac{1}{2}\right)^n \end{align} \\ \lim_{n\to\infty} u_n = 2.

Erreurs fréquentes

Astuce : vérifie les conditions de contraction et montre une estimation de l’erreur, pas seulement la limite théorique.

Récapitulatif rapide

Convergence : existence d'une limite L = lim u_n et condition associée.
Récurrence : définition de u_{n+1} en fonction de u_n, et étude du point fixe L satisfaisant L = f(L).
Contraction : si |f'(x)| ≤ k < 1, alors convergence garantie vers le point fixe.

Cartes mémo

Convergence

Limite unique si elle existe

Limite

Valeur que vise u_n lorsque n→∞

Récurrence

Relation qui définit u_{n+1} à partir de u_n

Point fixe

Solution L = f(L) vers laquelle converge u_n

Quel élément décrit le mieux une suite convergente ?

Une suite dont les termes augmentent sans limite.
Une suite qui admet une limite finie et qui s’en approche lorsque n devient grand.
Une suite qui oscille sans jamais se stabiliser.

La réponse 2 décrit la convergence vers une limite finie.