Les Suites : Limites et Théorème des Gendarmes

Introduction

Une suite est une liste de nombres notée \(\left( u_n \right)_{n \in \mathbb{N}}\). L'étude des suites porte notamment sur leur comportement lorsque \( n \) tend vers l'infini, notamment la notion de limite.

Les Limites des Suites

Limite Finie

On dit qu'une suite \(\left( u_n \right)\) admet une limite \(L \in \mathbb{R}\) si, pour tout \(\epsilon > 0\), il existe un entier \(N\) tel que pour tout \(n \geq N\), on a :

• \(\left| u_n - L \right| < \epsilon\)

En d'autres termes, la suite \(\left( u_n \right)\) devient arbitrairement proche de \(L\) à partir d'un certain rang.

Limite Infinie

La limite de \(\left( u_n \right)\) est infinie si, pour tout M > 0, il existe un entier \(N\) tel que pour tout \(n \geq N\) :

• \(u_n > M\).

On écrit alors : \(\lim_{n \to \infty} u_n = +\infty\).

Le Théorème des Gendarmes (ou Sandwich)

Énoncé

Supposons que pour tout \(n\), on ait :

a_n \leq u_n \leq b_n,

où \(\left( a_n \right)\) et \(\left( b_n \right)\) sont deux suites telles que :

• \(\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} b_n = L\)

Alors, la suite \(\left( u_n \right)\) admet aussi une limite, et :

\lim_{n \to \infty} u_n = L.

Utilité

Ce théorème permet de déterminer la limite d'une suite en la comparant à deux autres suites dont on connaît la limite, particulièrement utile lorsque l'on ne peut pas directement calculer la limite.

Exemples

Limite finie

Considérons la suite \(\left( u_n \right) = \frac{3n + 2}{2n + 1}\). En divisant le numérateur et le dénominateur par \(n\), on obtient :

\lim_{n \to \infty} \frac{3 + \frac{2}{n}}{2 + \frac{1}{n}} = \frac{3 + 0}{2 + 0} = \frac{3}{2}.

Limite infinie

Considérons la suite \(\left( u_n \right) = n^2\). Lorsque \(n\) tend vers l'infini, \(\left( u_n \right)\) tend vers \(+\infty\).

Conclusion

La maîtrise de la notion de limite et du théorème des gendarmes est essentielle en étude des suites, notamment pour analyser leur comportement asymptotique. Ces outils permettent également de simplifier la résolution de nombreux exercices en mathématiques.