Les Suites en Mathématiques

1. Introduction aux suites

Une suite est une liste ordonnée de nombres définie par une règle. Elle peut être finie ou infinie.

2. Les Suites géométriques

Définition

Une suite \((u_n)\) est géométrique s'il existe un nombre \(q\) appelé la raison, tel que pour tout \(n\), \[ u_{n+1} = u_n imes q \].

Formule explicite

Si la suite géométrique est définie par un premier terme \(u_0\), alors pour tout \(n\), \[ u_n = u_0 imes q^n \].

Exemple

La suite \((2, 4, 8, 16, ...)\) est géométrique avec \(u_0=2\) et \(q=2\). La formule générale est \[ u_n = 2 imes 2^n \].

3. Suites adjacentes

Définition

Deux suites \((u_n)\) et \((v_n)\) sont adjacentes si, pour tout \(n\), elles sont à la proximité l'une de l'autre lorsque \(n\) tend vers l'infini. En particulier, on étudie leur limite si elle existe.

Relation entre suites adjacentes

Si \(\lim_{n o \infty} u_n = L\) et \(\lim_{n o \infty} v_n = M\), alors :

• si \(L eq M\), les suites n'ont pas la même limite.
• si \(L = M\), les suites peuvent être dites voisines en limite, et leur différence tend vers 0, c'est-à-dire \(\lim_{n o \infty} (u_n - v_n) = 0\).

4. Exemples et exercices

Exemple : Soit la suite géométrique \((u_n)\) avec \(u_0=3\) et \(q=rac{1}{2}\). ewline La formule explicite est : \[ u_n = 3 imes \left(rac{1}{2} ight)^n \].

Exercice : Définir une suite géométrique avec \(u_0=5\) et \(u_3=1.25\). Trouvez la raison \(q\).