Ce cours porte sur les suites, en particulier les suites géométriques et les suites adjacentes

1. Introduction aux Suites

Une suite est une fonction définie sur l'ensemble des entiers naturels, associant à chaque entier naturel n un réel x_n. On note généralement la suite par (x_n)^∗.

2. Suites géométriques

Définition

Une suite géométrique est une suite dans laquelle chaque terme est obtenu en multipliant le terme précédent par un même nombre appelé raison, noté q.

Formellement :
Pour tout n ≥ 0,
x_n+1 = x_n × q

Formule explicite

Si la suite géométrique a un premier terme x₀, alors :
x_n = x₀ × qⁿ.

Présentation pratique

Exemple : si x₀ = 3 et q = 2,
la suite est : 3, 6, 12, 24, 48, ...

Cas particuliers

• Si |q| < 1, la suite converge vers 0.
• Si q = 1, la suite est constante.
• Si q = -1, la suite alterne entre deux termes.

3. Suites adjacentes

Définition

Deux suites (u_n) et (v_n) sont dites adjacentes si, lorsque n tend vers l'infini, la différence entre leurs termes tend vers zéro :

lim_n→∞ (u_n - v_n) = 0.

Importance

Les suites adjacentes ont des comportements asymptotiques très proches. Cela permet de comparer leur croissance ou leur décroissance lorsque n devient très grand.

Exemple

Considérons les suites :
u_n = 1 + 1/n
v_n = 1.
Ces deux suites sont adjacentes, car :
u_n - v_n = 1/n → 0 lorsque n → ∞.

4. Résumé

• Une suite géométrique se caractérise par sa raison q et son premier terme.
• Elle peut converger ou diverger selon la valeur de q.
• Deux suites sont adjacentes si leur différence tend vers zéro, leur comportement asymptotique étant proche.

5. Exercices d'application

1. Calculez les 5 premiers termes de la suite géométrique de premier terme 2 et de raison 3.
2. Montrez que la suite (u_n) = 5 - 1/n et la suite (v_n) = 5 sont adjacentes.