Fonctions et graphes : Étude et représentation

1. Introduction aux fonctions

Une fonction est une règle qui associe à chaque nombre d'un ensemble un seul autre nombre. On la note généralement comme \(f : x \mapsto y\).

2. Fonction affine

Définition

Une fonction affine est une fonction du type :

où \(a\) et \(b\) sont des constantes (avec \(a eq 0\)).

Graphe

Le graphe est une droite dans le plan.

Caractéristiques

• La pente : \(a\), indique l'inclinaison de la droite.
• L'ordonnée à l'origine : \(b\), indique où la droite coupe l'axe des ordonnées.

3. Fonction quadratique

Définition

Une fonction quadratique est une fonction du type :

avec \(a eq 0\).

Graphe

Le graphe est une parabole.

Caractéristiques

• Sommet : point haut ou bas de la parabole, selon le signe de \(a\).
• La parabole est symétrique par rapport à une droite verticale : l'axe de symétrie.
• Le disque de la parabole indique si la parabole est tournée vers le haut (\(a > 0\)) ou vers le bas (\(a < 0\)).

4. Fonction cubique

Définition

Une fonction cubique est de la forme :

avec \(a eq 0\).

Graphe

Le graphe est une courbe qui peut avoir plusieurs points d'inflexion et des branches inverses.

5. Fonction racine carrée

Définition

La fonction racine carrée est :

avec \(x \geq 0\).

Graphe

Le graphe est une courbe croissante, située dans le premier quadrant.

Propriétés

• Définie pour \(x \geq 0\).
• Montre une croissance lente pour de grandes valeurs de \(x\).
• La limite lorsque \(x\) tend vers 0 est 0.

6. Résumé

Type de fonction	Forme	Graphe
Affine	\(f(x) = ax + b\)	Droite
Quadratique	\(f(x) = ax^2 + bx + c\)	Parabole
Cubique	\(f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\)	Courbe avec inflexion
Racine carrée	\(f(x) = \sqrt{x}\)	Courbe croissante dans le premier quadrant

Les fonctions sont essentielles pour modéliser de nombreux phénomènes en sciences, économie, etc. La compréhension des graphes permet d'analyser leur comportement.