Nombres irrationnels : exemples et propriétés

Objectifs

Différencier nombres rationnels et irrationnels.
Comprendre des propriétés essentielles des irrationnels et savoir donner des exemples fiables.
Savoir démontrer que certains nombres sont irrationnels et interpréter leurs implications en maths et en calcul réel.

Notions clés

Définition Un nombre réel x est irrationnel s'il ne peut pas s'écrire sous la forme p/q avec p et q entiers et q ≠ 0.

Exemples importants : π et e sont irrationnels (défaut d’écriture en fraction). Exemple célèbre : √2 est irrationnel.

Propriétés utiles :

La somme d'un rational et d'un irrationnel est irrationnelle.
Le produit d'un irrationnel non nul par un rational non nul peut être irrationnel ou rationnel (par exemple, √2 × √2 = 2 est rationnel).
Un irrationnel peut avoir une écriture décimale non périodique et infinie.

Figure illustrative

Exemples résolus

Exemple 1 : démontrer que \(\sqrt{2}\) est irrationnel

Preuve par contradiction :

Supposons que \(\sqrt{2} = \frac{a}{b}\) avec \(a,b\in\mathbb{Z}, b>0\) et\(a,b\) premiers entre eux.

Alors \(2 = \frac{a^2}{b^2}\), donc \(2 b^2 = a^2\).

Ainsi, \(a^2\) est pair, ce qui implique que \(a\) est pair : \(a=2k\).

En substituant, \(2 b^2 = (2k)^2 = 4k^2 \Rightarrow b^2 = 2k^2\), donc \(b\) est aussi pair.

Ainsi, \(a\) et \(b\) sont tous deux pairs, ce qui contredit leur propriété première d'être premiers entre eux.

Voir la solution

Conclusion : \(\sqrt{2}\) est irrationnel.

Le quotient \(\sqrt{2}\) peut-il être écrit comme le ratio de deux entiers ?

Oui
Non
Seulement si les entiers sont pairs

Réponse correcte: Non, par contradiction.

Exemple 2 : caractère irrationnel de certaines sommes

Considérons \(\sqrt{2}\) et \(\sqrt{3}\). Leur produit est irrationnel : si l’on suppose le contraire, on peut mener à une contradiction similaire à l’exemple 1.

Par ailleurs, \(\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=2\) est rationnel, montrant que le produit de deux irrationnels peut être rationnel.

Erreurs fréquentes

Confondre décimal périodique et irrationnel.
Penser qu'un nombre positif dont l’écriture est non entière est nécessairement rationnel.

Récapitulatif

Un irrationnel ne peut s’écrire sous forme de quotient d’entiers.
π, e et √2 sont des irrationnels célèbres.
La somme d’un rationnel et d’un irrationnel est irrationnelle; certains produits d’irrationnels peuvent être rationnels (ex. √2 × √2 = 2).

Notion

Définition: irrationnel ne s’écrit pas comme p/q

Propriété

Somme rationnel + irrationnel = irrationnel

Exemple

\(\sqrt{2}\) est irrationnel ; \(\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2\) est rationnel