Objectifs

• Comprendre la forme générale d’un polynôme du troisième degré et les paramètres \(a,b,c,d\).
• Identifier des racines et factoriser lorsque cela est possible en utilisant la division synthétique et le théorème des racines rationnelles.
• Résoudre un exemple concret et décomposer le polynôme en produits de facteurs linéaux et/ou quadratiques.

Notions clés

Exemple résolu

Considérons le polynôme simple : \(P(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6\).

On teste une racine évidente : \(P(1) = 1 - 6 + 11 - 6 = 0\). Ainsi, \(x=1\) est une racine et \(P(x) = (x-1)Q(x)\).

On détermine le quotient \(Q(x)\) par division synthétique ou par développement :

Erreurs fréquentes

• Confondre les racines avec les coefficients sans vérification.
• Oublier le critère \(a \neq 0\) lorsque l’on parle de polynôme du 3e degré.
• Ne pas effectuer correctement la division synthétique et négliger le reste.
• Oublier que le nombre de racines réelles peut être 1, 2 ou 3 selon le discriminant de la partie quadratique.

Récapitulatif

• Forme générale : \(P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\) avec \(a \neq 0\).
• Si \(r\) est une racine, \(P(x) = (x - r)Q(x)\) où \(Q\) est un polynôme de degré 2.
• Utiliser la division synthétique pour obtenir \(Q(x)\) et factoriser ensuite si possible.
• Exemple clé : \(P(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = (x-1)(x-2)(x-3)\).

Cartes mémo

Schéma: racines et forme factorisée