Définition et propriétés du corps des nombres complexes

1. Introduction aux nombres complexes

Les nombres complexes sont une extension des nombres réels, permettant la résolution d'équations comme \(x^2 + 1 = 0\). Un nombre complexe s'écrit sous la forme z = a + bi, où :

• a est la partie réelle, un réel.
• b est la partie imaginaire, un réel.
• i est l'unité imaginaire avec la propriété \(i^2 = -1\).

2. L'ensemble \(\mathbb{C}\) comme corps

L'ensemble des nombres complexes \(\mathbb{C}\) équipé des opérations de addition et de multiplication est un corps. Cela signifie que :

• La somme et le produit de deux complexes sont toujours des complexes.
• Il existe des éléments neutres : 0 (additif) et 1 (tnd de produire tout complexe.
• Chaque nombre complexe non nul admet un inverse pour la multiplication.

3. Opérations sur les nombres complexes

3.1. Somme et différence

Pour \(z_1 = a_1 + b_1 i\) et \(z_2 = a_2 + b_2 i\),

• Somme : \(z_1 + z_2 = (a_1 + a_2) + (b_1 + b_2)i\)
• Différence : \(z_1 - z_2 = (a_1 - a_2) + (b_1 - b_2)i\)

3.2. Produit

Le produit de deux complexes \(z_1\) et \(z_2\) est donné par :

\[ z_1 z_2 = (a_1 a_2 - b_1 b_2) + (a_1 b_2 + a_2 b_1)i \]

3.3. Conjugué, module et argument

• Conjugué : \(\overline{z} = a - bi\)
• Module : \(|z| = \sqrt{a^2 + b^2}\)
• Argument : \( heta = rg(z)\), l'angle \(z\) dans le plan complexe, avec \(\cos heta = rac{a}{|z|}\), \(\sin heta = rac{b}{|z|}\)

4. Forme trigonométrique et forme exponentielle

Pour un nombre \(z = a + bi\), on peut écrire :

\[ z = |z| (\cos 	heta + i \sin 	heta) \]

où \( heta = rg(z)\). La forme exponentielle est :

\[ z = |z| e^{i 	heta} \]

5. Complétude de \(\mathbb{C}\)

Le corps \(\mathbb{C}\) est complet, c'est-à-dire que toute suite de Cauchy en \(\mathbb{C}\) converge vers un nombre complexe dans \(\mathbb{C}\). Cela permet la résolution de toute équation polynomiale à coefficients complexes (théorème fondamental de l'algèbre).

6. Résumé

• \( \mathbb{C} \) est un corps complet contenant \(\mathbb{R}\).
• Les opérations y sont bien définies et permettent d'effectuer toute opération arithmétique.
• Les représentations polaire et exponentielle facilitent la manipulation des nombres complexes.