1. Définition

Un polynôme est une expression algébrique constituée d'une somme de termes, chaque terme étant le produit d'un coefficient par une ou plusieurs variables élevées à des puissances entières et positives.

Exemple : \( P(x) = 3x^3 - 5x^2 + 2x - 7 \).

2. Les coefficients et les degrés

• Coefficient : le nombre devant la variable. Exemple : 3, -5, 2, -7.
• Degré : le plus grand exposant des variables dans le polynôme. Exemple : le degré de \( 3x^3 - 5x^2 + 2x - 7 \) est 3.

3. La classification des polynômes

• Polynôme constant : degré 0 (ex : \( 5 \)).
• Polynôme en une variable : qui dépend d'une seule variable, par exemple \( x \).
• Polynôme de degré n : dont le plus grand exposant est n.

4. Opérations sur les polynômes

a) Addition et soustraction

Pour additionner ou soustraire deux polynômes, on regroupe les termes de même degré :

Exemple : \( (2x^2 + 3x - 4) + (x^2 - x + 5) = (2x^2 + x^2) + (3x - x) + (-4 + 5) = 3x^2 + 2x + 1 \).

b) Multiplication

On multiplie chaque terme de un polynôme par chaque terme de l'autre, puis on simplifie :

Exemple : \( (x + 2)(x - 3) = x imes x + x imes (-3) + 2 imes x + 2 imes (-3) = x^2 - 3x + 2x - 6 = x^2 - x - 6 \).

5. La factorisation

Elle consiste à écrire un polynôme sous forme de produit de facteurs :

Exemple : \( x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3) \).

Facteur commun : lorsque tous les termes ont un facteur commun, on le met en facteur :

Exemple : \( 4x^3 + 8x^2 = 4x^2(x + 2) \).