Fonction logarithme : croissances comparées

Quand \(x\) devient très grand, l’exponentielle grandit infiniment plus vite que n’importe quelle puissance de \(x\), qui elle-même grandit infiniment plus vite que le logarithme : c’est la course « \(\ln x\) < \(x^n\) < \(\mathrm{e}^x\) ».

Objectifs

Connaître les limites de croissances comparées entre \(\mathrm{e}^x\), \(x^n\) et \(\ln x\).
Comprendre la démonstration de \(\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{\mathrm{e}^x}{x} = +\infty\) et en déduire celle de \(\frac{\ln x}{x}\).
Utiliser ces résultats pour lever des formes indéterminées (« \(\infty - \infty\) », « \(\frac{\infty}{\infty}\) », « \(0 \times \infty\) »).

1. Une course entre trois fonctions

Les trois fonctions tendent vers \(+\infty\) en \(+\infty\) :

\[\lim_{x \to +\infty} \ln x = +\infty, \qquad \lim_{x \to +\infty} x^n = +\infty \ (n \geqslant 1), \qquad \lim_{x \to +\infty} \mathrm{e}^x = +\infty.\]

Mais leurs quotients donnent des formes indéterminées « \(\frac{\infty}{\infty}\) ». Les croissances comparées disent qui « gagne ».

Manipule le graphique : compare \(\mathrm{e}^x\), \(x^n\) et \(\ln x\). Avec \(n = 3\), la puissance passe au-dessus de l’exponentielle entre \(x \approx 1{,}9\) et \(x \approx 4{,}5\), puis l’exponentielle la dépasse définitivement. Augmente \(n\) : le dépassement arrive plus tard, mais il arrive toujours.

flowchart LR
A[ln x] -->|est battu par| B[x puissance n]
B -->|est battu par| C[exp x]

2. Exponentielle et puissances

Démonstration pour \(n = 1\)

Essaie de suivre chaque étape avant de passer à la suivante.

On pose \(g(x) = \mathrm{e}^x - \frac{x^2}{2}\) sur \([0\,;\,+\infty[\). Sa dérivée est \(g'(x) = \mathrm{e}^x - x\).

On sait que \(\mathrm{e}^x \geqslant x + 1 > x\) pour tout réel \(x\), donc \(g'(x) > 0\) : \(g\) est strictement croissante.

Comme \(g(0) = 1 > 0\), on a \(g(x) > 0\) pour tout \(x \geqslant 0\), c’est-à-dire \(\mathrm{e}^x > \frac{x^2}{2}\).

Pour \(x > 0\), on divise par \(x\) : \(\frac{\mathrm{e}^x}{x} > \frac{x}{2}\). Or \(\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{x}{2} = +\infty\).

Par comparaison, \(\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{\mathrm{e}^x}{x} = +\infty\).

En \(-\infty\), on pose \(X = -x\) : \(x\,\mathrm{e}^x = -\frac{X}{\mathrm{e}^X}\) et \(\frac{X}{\mathrm{e}^X} \to 0\) quand \(X \to +\infty\), donc \(\lim\limits_{x \to -\infty} x\,\mathrm{e}^x = 0\).

Que vaut \(\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{x^5}{\mathrm{e}^x}\) ?

\(+\infty\), car \(x^5\) est une grande puissance
\(1\)
\(0\), car c’est l’inverse de \(\frac{\mathrm{e}^x}{x^5}\) qui tend vers \(+\infty\)

\(\frac{\mathrm{e}^x}{x^5} \to +\infty\), donc son inverse \(\frac{x^5}{\mathrm{e}^x}\) tend vers \(0\). L’exponentielle gagne contre toute puissance.

3. Logarithme et puissances

Démonstration de \(\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x} = 0\)

Cherche d’abord en posant \(X = \ln x\), puis compare.

Voir la solution

On pose \(X = \ln x\), donc \(x = \mathrm{e}^X\), et \(X \to +\infty\) quand \(x \to +\infty\).

\[\frac{\ln x}{x} = \frac{X}{\mathrm{e}^X} = \frac{1}{\frac{\mathrm{e}^X}{X}}\]

Comme \(\frac{\mathrm{e}^X}{X} \to +\infty\), son inverse tend vers \(0\) : \(\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x} = 0\).

En \(0^+\), on pose \(X = \frac{1}{x}\) : \(x \ln x = \frac{1}{X} \ln \frac{1}{X} = -\frac{\ln X}{X} \to 0\) quand \(X \to +\infty\).

Que vaut \(\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{x^2}{\ln x}\) ?

\(0\)
\(+\infty\)
\(1\)

\(\frac{\ln x}{x^2} \to 0^+\) (positif pour \(x > 1\)), donc son inverse \(\frac{x^2}{\ln x}\) tend vers \(+\infty\) : la puissance l’emporte sur le logarithme.

4. Méthode : lever une forme indéterminée

Exemple résolu 1

Calcule \(\lim\limits_{x \to +\infty} \left(\mathrm{e}^x - x^3\right)\).

Forme indéterminée « \(+\infty - \infty\) ». Le terme le plus fort est \(\mathrm{e}^x\)… mais il est plus simple ici de factoriser \(x^3\).

\(\mathrm{e}^x - x^3 = x^3\left(\frac{\mathrm{e}^x}{x^3} - 1\right)\).

\(\frac{\mathrm{e}^x}{x^3} \to +\infty\), donc la parenthèse tend vers \(+\infty\), et \(x^3 \to +\infty\).

Par produit : \(\lim\limits_{x \to +\infty} \left(\mathrm{e}^x - x^3\right) = +\infty\).

Exemple résolu 2

Soit \(f(x) = x - 2\ln x\) sur \(]0\,;\,+\infty[\). Calcule la limite de \(f\) en \(+\infty\).

Voir la solution

Forme « \(+\infty - \infty\) ». On factorise par \(x\) :

\[f(x) = x\left(1 - 2\,\frac{\ln x}{x}\right)\]

Comme \(\frac{\ln x}{x} \to 0\), la parenthèse tend vers \(1\), et \(x \to +\infty\). Donc \(\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = +\infty\).

Exemple résolu 3

Calcule \(\lim\limits_{x \to +\infty} \left(x^2 - 3\right)\mathrm{e}^{-x}\).

Voir la solution

\begin{align} \left(x^2 - 3\right)\mathrm{e}^{-x} &= \frac{x^2}{\mathrm{e}^x} - \frac{3}{\mathrm{e}^x} \end{align}

\(\frac{x^2}{\mathrm{e}^x} \to 0\) par croissance comparée et \(\frac{3}{\mathrm{e}^x} \to 0\). Donc la limite vaut \(0\).

Que vaut \(\lim\limits_{x \to 0^+} x^2 \ln x\) ?

\(0\)
\(-\infty\)
\(+\infty\)

C’est la croissance comparée \(\lim\limits_{x \to 0^+} x^n \ln x = 0\) avec \(n = 2\) : la puissance l’emporte sur le logarithme.

Erreurs fréquentes

Écrire « \(\frac{\infty}{\infty} = 1\) » : c’est faux, c’est une forme indéterminée.
Se fier au début du graphique : pour \(x\) petit, \(x^n\) peut être au-dessus de \(\mathrm{e}^x\) ; seule la limite compte.
Oublier de factoriser par le terme dominant et se retrouver encore avec « \(\infty - \infty\) ».

Récapitulatif

En \(+\infty\) : \(\frac{\mathrm{e}^x}{x^n} \to +\infty\) et \(\frac{\ln x}{x^n} \to 0\).
En \(-\infty\) : \(x^n \mathrm{e}^x \to 0\). En \(0^+\) : \(x^n \ln x \to 0\).
Hiérarchie : le logarithme est battu par les puissances, elles-mêmes battues par l’exponentielle.
Méthode : factoriser par le terme dominant pour faire apparaître ces quotients.

eˣ / xⁿ en +∞

Tend vers +∞ : l’exponentielle l’emporte.

xⁿ eˣ en −∞

Tend vers 0.

ln x / xⁿ en +∞

Tend vers 0 : la puissance l’emporte sur le logarithme.

xⁿ ln x en 0⁺

Tend vers 0 (forme 0 × ∞ levée).

Méthode

Factoriser par le terme dominant, puis utiliser les croissances comparées.