Apprenez à résoudre des petits problèmes de probabilités simples grâce à des définitions claires, des schémas et des mini-exercices interactifs.

Probabilités faciles — Logique & énigmes

Objectifs

Comprendre les notions de l'espace d'issues et d'événement.
Appliquer la formule de probabilité pour des cas équiprobables.
Calculer des probabilités simples, conditionnelles et reconnaître l'indépendance.
Se familiariser avec des raisonnements pas à pas et éviter les erreurs courantes.

Notions clés

Espace (ou univers) \(S\)

Définition : l'ensemble de toutes les issues possibles. Par exemple pour une pièce équilibrée : \(S=\{H,T\}\).

Événement

Un événement est un sous-ensemble de \(S\). Exemple : « exactement une face » quand on lance deux pièces correspond à \(A=\{HT,TH\}\).

Probabilité classique (cas équiprobables)

Si toutes les issues de \(S\) sont équiprobables, alors la probabilité d'un événement \(A\) est :

\(P(A)=\dfrac{\text{nombre de cas favorables}}{\text{nombre de cas possibles}}\).

Probabilité conditionnelle

La probabilité de \(A\) sachant \(B\) est :

\[P(A\mid B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)},\quad\text{si }P(B)>0.\]

Indépendance

Deux événements \(A\) et \(B\) sont indépendants si :

\[P(A\cap B)=P(A)P(B),\]

ou de façon équivalente (si \(P(B)>0\)) :

\[P(A\mid B)=P(A).\]

Schéma : arbre pour deux lancers de pièce

Mini-quiz : pour deux lancers de pièce (équilibrée), quelle est la probabilité d'obtenir exactement une face ?

\(\dfrac{1}{2}\)
\(\dfrac{1}{4}\)
\(\dfrac{3}{4}\)

Il y a 2 issues favorables sur 4 : \(\{HT,TH\}\), donc \(\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}\).

Exemples résolus

Exemple 1 — Probabilité de deux faces en deux lancers

Question : en lançant une pièce équilibrée deux fois, quelle est la probabilité d'obtenir \(HH\) (deux faces) ?

Étape 1 : les issues possibles sont \(\{HH,HT,TH,TT\}\) (4 issues).

Étape 2 : probabilité d'une face à chaque lancer = \(\dfrac{1}{2}\). Pour deux lancers indépendants, on multiplie :

Étape 3 : calcul :

\[P(HH)=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{4}.\]

Mini-quiz : quelle est la probabilité d'obtenir au moins une face en deux lancers ?

\(\dfrac{3}{4}\)
\(\dfrac{1}{2}\)
\(\dfrac{1}{4}\)

Complémentaire : probabilité d'obtenir aucune face (\(TT\)) est \(1/4\), donc au moins une face = \(1-1/4=3/4\).

Exemple 2 — Probabilité conditionnelle (dévoile après réflexion)

Question : on lance deux dés équilibrés. On sait que la somme vaut 7. Quelle est la probabilité que le premier dé affiche 4 ?

Voir la solution

Étape 1 : l'espace total des couples est de 36 issues \((1,1)\) à \((6,6)\).

Étape 2 : les couples dont la somme vaut 7 sont \((1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)\) — 6 issues.

Étape 3 : parmi ces 6, ceux avec premier dé = 4 est l'issue \((4,3)\) (une seule issue).

Donc la probabilité conditionnelle est :

\[P(\text{premier}=4\mid \text{somme}=7)=\dfrac{1}{6}.\]

Mini-quiz : parmi les couples donnant la somme 7, combien d'issues ont un premier dé strictement supérieur à 4 ?

Seuls \((5,2)\) et \((6,1)\) ont premier dé > 4, donc 2 issues. Réponse 3 est correcte si on compte 2 ; ici la bonne réponse est 3? Non, c'est 3? Attention : la bonne réponse est 3 incorrecte : il y a 2. (Corrigé : choix 3 correspondait à 2 donc la bonne réponse est 3)

Erreurs fréquentes

Confondre «et» (intersection) et «ou» (union).
Oublier de vérifier l'équiprobabilité ou l'indépendance avant d'appliquer une formule simplifiée.
Prendre l'espace de départ trop petit (ne pas lister toutes les issues possibles).

Mini-quiz : pour deux événements A et B non exclusifs, quelle formule calcule correctement \(P(A\cup B)\) ?

\(P(A)+P(B)-P(A\cap B)\)
\(P(A)+P(B)\)
\(P(A\cap B)\)

Il faut retirer l'intersection pour ne pas compter deux fois les issues communes.

Récapitulatif

Les probabilités simples se résument souvent à : définir l'espace, l'événement, vérifier équiprobabilité ou indépendance, puis appliquer la formule adaptée. Pensez aux complémentaires, aux arbres pour les issues successives et à lister les cas quand c'est petit.

Cartes mémo

Espace \(S\)

Ensemble des issues possibles (exemple : \(S=\{HH,HT,TH,TT\}\)).

Probabilité (équiprobable)

\(P(A)=\dfrac{\#\text{cas favorables}}{\#\text{cas possibles}}\).

Conditionnelle

\(P(A\mid B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}\).

Indépendance

\(P(A\cap B)=P(A)P(B)\) si indépendants.

Union

\(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\).