De la chronophotographie à la tangente : construire pas à pas la vitesse moyenne puis la vitesse instantanée
De la chronophotographie à la tangente : construire pas à pas la vitesse moyenne puis la vitesse instantanée
La vitesse moyenne est la pente d'une corde sur le graphe position-temps ; en rapprochant les deux instants, la corde devient la tangente et sa pente donne la vitesse instantanée.
Objectifs
- Calculer une vitesse moyenne \(v_{\text{moy}} = \frac{\Delta x}{\Delta t}\) et convertir entre m/s et km/h.
- Exploiter un enregistrement de positions à intervalles de temps égaux.
- Interpréter la vitesse moyenne comme la pente d'une droite sur un graphe position-temps.
- Comprendre et estimer une vitesse instantanée.
Pas 1 : la vitesse moyenne sur un trajet
Définition
Un mobile passe de la position \(x_1\) à la date \(t_1\) à la position \(x_2\) à la date \(t_2\). Sa vitesse moyenne entre ces deux dates est :
\[ v_{\text{moy}} = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{x_2 - x_1}{t_2 - t_1} \]En unités du Système international, \(x\) est en mètres (m), \(t\) en secondes (s) et \(v\) en mètres par seconde (\(\text{m/s}\) ou \(\text{m}\cdot\text{s}^{-1}\)).
Exemple résolu 1
Calcule la vitesse moyenne du car de Seydou en km/h puis en m/s.
Un coureur parcourt 100 m en 12,5 s. Sa vitesse moyenne vaut :
Pas 2 : lire un enregistrement de positions
| Point | M0 | M1 | M2 | M3 | M4 | M5 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(t\) (s) | 0 | 0,1 | 0,2 | 0,3 | 0,4 | 0,5 |
| \(x\) (m) | 0 | 0,02 | 0,08 | 0,18 | 0,32 | 0,50 |
Exemple résolu 2
Calcule la vitesse moyenne de la bille entre M0 et M5, puis entre M3 et M5.
Cherche d'abord, puis vois la solution
\begin{align} v_{0 \to 5} &= \frac{0{,}50 - 0}{0{,}5 - 0} = 1{,}0 \text{ m/s} \\ v_{3 \to 5} &= \frac{0{,}50 - 0{,}18}{0{,}5 - 0{,}3} = \frac{0{,}32}{0{,}2} = 1{,}6 \text{ m/s} \end{align}La vitesse moyenne dépend de l'intervalle choisi : sur la fin du parcours, la bille va plus vite qu'en moyenne sur tout le trajet.
Sur une chronophotographie, les points sont de plus en plus rapprochés. Le mouvement est :
Pas 3 : la vitesse moyenne se voit sur le graphe
Sur le graphe \(x(t)\), plaçons deux points \(A(t_1 ; x_1)\) et \(B(t_2 ; x_2)\). La droite \((AB)\) est une corde de la courbe. Son coefficient directeur (sa pente) vaut :
\[ \text{pente de } (AB) = \frac{x_2 - x_1}{t_2 - t_1} = v_{\text{moy}} \]La vitesse moyenne entre \(t_1\) et \(t_2\) est donc la pente de la corde. Pour un mouvement uniforme, le graphe est une droite et toutes les cordes ont la même pente.
Les positions de la bille suivent \(x = 2t^2\) (vérifie : pour \(t = 0{,}3\), \(2 \times 0{,}09 = 0{,}18\)). Ci-dessous, la courbe et la corde entre les dates \(a\) et \(b\) : déplace les curseurs.
La pente de cette corde est \(\frac{2b^2 - 2a^2}{b - a} = 2(a + b)\). Avec \(a = 0{,}3\) et \(b = 0{,}7\), elle vaut \(2 \times 1{,}0 = 2{,}0 \text{ m/s}\).
Sur un graphe \(x(t)\), un segment est horizontal entre 2 s et 5 s. Pendant ce temps, le mobile :
Pas 4 : resserrer l'intervalle, la vitesse instantanée
Dans le graphe ci-dessus, place \(a = 0{,}5\) et rapproche \(b\) de \(a\) (0,7 ; 0,6 ; 0,55). La pente de la corde vaut \(2{,}4\) ; \(2{,}2\) ; \(2{,}1\) m/s. Elle s'approche de \(2{,}0\) m/s, et la corde se confond peu à peu avec la tangente à la courbe en \(t = 0{,}5 \text{ s}\).
Méthode pratique sur un enregistrement
Avec des positions relevées toutes les \(\tau\), on estime la vitesse au point \(M_i\) par la vitesse moyenne entre le point qui précède et celui qui suit :
\[ v_i \approx \frac{x_{i+1} - x_{i-1}}{2\tau} \]Exemple résolu 3
Estime la vitesse de la bille en M2 et en M3, puis en M4.
Sur un graphe \(x(t)\), la tangente en un point est plus raide qu'en un autre point. Cela signifie que :
Erreurs fréquentes
- Écrire 1 h 30 min = 1,30 h au lieu de 1,5 h.
- Oublier de convertir : on ne mélange pas km et s, ou m et h, dans un même calcul.
- Confondre la position \(x\) (une valeur lue) et la distance parcourue \(\Delta x\) (une différence).
- Croire que la vitesse moyenne est la moyenne de plusieurs vitesses : c'est la distance totale divisée par la durée totale.
- Mesurer la pente en centimètres sur la feuille au lieu d'utiliser les graduations des axes.
Récapitulatif
- \(v_{\text{moy}} = \frac{\Delta x}{\Delta t}\), en m/s ; \(1 \text{ m/s} = 3{,}6 \text{ km/h}\).
- Points également espacés : mouvement uniforme ; de plus en plus espacés : accéléré ; de plus en plus serrés : ralenti.
- Sur le graphe \(x(t)\), la vitesse moyenne est la pente d'une corde.
- La vitesse instantanée est la pente de la tangente ; sur un enregistrement, \(v_i \approx \frac{x_{i+1} - x_{i-1}}{2\tau}\).
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