Calcul intégral : définition comme aire sous la courbe

Pour une fonction continue et positive sur \([a\,;b]\), l'intégrale \(\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x\) est l'aire, en unités d'aire, du domaine compris entre la courbe, l'axe des abscisses et les droites \(x = a\) et \(x = b\).

Objectifs

Définir l'unité d'aire d'un repère orthogonal.
Définir l'intégrale d'une fonction continue et positive comme une aire, et lire la notation \(\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x\).
Calculer des intégrales simples par des aires de figures connues.
Encadrer une intégrale par la méthode des rectangles.
Étendre la définition aux fonctions de signe quelconque et en déduire les premières propriétés.
Faire le lien avec les primitives : \(\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = F(b) - F(a)\).

1. L'unité d'aire

Dans un repère orthogonal \((O\,;I\,;J)\), l'unité d'aire (u.a.) est l'aire du rectangle \(OIKJ\) construit sur les deux vecteurs unités.

2. Définition de l'intégrale d'une fonction positive

Notions clés

Soit \(f\) une fonction continue et positive sur un intervalle \([a\,;b]\) et \(\mathcal{C}_f\) sa courbe. On appelle domaine sous la courbe l'ensemble des points \(M(x\,;y)\) tels que :

\[a \leq x \leq b \quad \text{et} \quad 0 \leq y \leq f(x)\]

L'intégrale de \(f\) de \(a\) à \(b\) est l'aire de ce domaine, exprimée en unités d'aire. On la note :

\[\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x\]

\(a\) et \(b\) sont les bornes d'intégration ;
\(x\) est une variable muette : \(\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = \int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t\) ;
le symbole \(\int\) est un S allongé, pour « somme » : on additionne une infinité de bandes très fines de hauteur \(f(x)\) et de largeur \(\mathrm{d}x\).

Exemple résolu 1 : par des figures connues

Calcule \(\displaystyle I = \int_1^3 (x + 1)\,\mathrm{d}x\).

La fonction \(x \mapsto x + 1\) est continue et positive sur \([1\,;3]\) : \(I\) est une aire.

Le domaine est un trapèze : côtés parallèles verticaux de longueurs \(f(1) = 2\) et \(f(3) = 4\), hauteur \(3 - 1 = 2\).

Aire du trapèze : \[I = \frac{(2 + 4) \times 2}{2} = 6 \ \text{u.a.}\]

Exemple résolu 2 : un demi-disque

Calcule \(\displaystyle J = \int_{-1}^{1} \sqrt{1 - x^2}\,\mathrm{d}x\). Indice : quelle est la courbe de \(y = \sqrt{1 - x^2}\) ? Cherche d'abord.

Voir la solution

Si \(y = \sqrt{1 - x^2}\), alors \(y \geq 0\) et \(x^2 + y^2 = 1\) : la courbe est le demi-cercle supérieur de centre \(O\) et de rayon 1. Le domaine est un demi-disque :

\[J = \frac{\pi \times 1^2}{2} = \frac{\pi}{2} \ \text{u.a.}\]

Que vaut \(\displaystyle\int_2^5 4\,\mathrm{d}x\) ?

\(20\)
\(12\)
\(4\)

Le domaine est un rectangle de largeur \(5 - 2 = 3\) et de hauteur 4 : son aire vaut \(3 \times 4 = 12\) u.a.

3. Encadrer une aire avec des rectangles

On cherche \(\displaystyle\int_0^1 x^2\,\mathrm{d}x\), qu'aucune formule de géométrie ne donne directement. On découpe \([0\,;1]\) en \(n = 4\) bandes de largeur \(\tfrac14\).

Rectangles intérieurs (bleus) : sur chaque bande, la hauteur est la valeur de \(f\) à gauche, la plus petite car \(f\) est croissante. Leur aire totale \(s_4\) est plus petite que l'aire cherchée.

Rectangles extérieurs (rouges) : la hauteur est la valeur à droite, la plus grande. Leur aire totale \(S_4\) est plus grande que l'aire cherchée.

L'aire sous la courbe est donc coincée entre les deux sommes : \(s_4 \leq \int_0^1 x^2\,\mathrm{d}x \leq S_4\).

Exemple résolu 3 : calcul de l'encadrement

Somme des rectangles intérieurs : \[s_4 = \frac14\left(0^2 + \left(\tfrac14\right)^2 + \left(\tfrac24\right)^2 + \left(\tfrac34\right)^2\right) = \frac14 \times \frac{0 + 1 + 4 + 9}{16} = \frac{14}{64} \approx 0{,}219\]

Somme des rectangles extérieurs : \[S_4 = \frac14 \times \frac{1 + 4 + 9 + 16}{16} = \frac{30}{64} \approx 0{,}469\]

Donc \(0{,}219 \leq \int_0^1 x^2\,\mathrm{d}x \leq 0{,}469\). L'écart vaut \(S_4 - s_4 = \frac{16}{64} = 0{,}25\).

Avec \(n\) bandes, on montre que \[s_n = \frac{(n-1)(2n-1)}{6n^2} \quad \text{et} \quad S_n = \frac{(n+1)(2n+1)}{6n^2}\] et les deux tendent vers \(\frac{2}{6} = \frac13\) quand \(n \to +\infty\). Donc \(\displaystyle\int_0^1 x^2\,\mathrm{d}x = \frac13\) u.a.

Quand on augmente le nombre \(n\) de rectangles, l'écart entre \(s_n\) et \(S_n\) :

augmente
reste constant
diminue et tend vers 0

Les bandes deviennent plus fines, les rectangles collent mieux à la courbe : les deux sommes se rapprochent de l'aire exacte.

4. Fonctions de signe quelconque et premières propriétés

Si \(f\) est continue et négative sur \([a\,;b]\), on pose \(\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = -\mathcal{A}\), où \(\mathcal{A}\) est l'aire du domaine entre la courbe et l'axe des abscisses.
Si \(f\) change de signe, l'intégrale est la somme des aires au-dessus de l'axe moins la somme des aires en dessous : c'est une aire algébrique.

Propriétés qui se lisent sur les aires (\(f\), \(g\) continues sur un intervalle contenant \(a\), \(b\), \(c\)) :

\begin{align} &\int_a^a f(x)\,\mathrm{d}x = 0 \qquad \int_b^a f(x)\,\mathrm{d}x = -\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x\\ &\int_a^c f(x)\,\mathrm{d}x + \int_c^b f(x)\,\mathrm{d}x = \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x \quad \text{(relation de Chasles)}\\ &\text{si } a \leq b \text{ et } f \geq 0 \text{ sur } [a\,;b], \text{ alors } \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x \geq 0 \quad \text{(positivité)} \end{align}

Exemple résolu 4

Sans calcul de primitive, que vaut \(\displaystyle\int_{-2}^{2} x\,\mathrm{d}x\) ? Cherche d'abord en dessinant.

Voir la solution

Sur \([-2\,;0]\), la droite \(y = x\) est sous l'axe : le triangle a pour aire \(\frac{2 \times 2}{2} = 2\), compté \(-2\). Sur \([0\,;2]\), le triangle au-dessus de l'axe a aussi pour aire 2. Par Chasles :

\[\int_{-2}^{2} x\,\mathrm{d}x = -2 + 2 = 0\]

Pourtant l'aire totale coloriée vaut 4 u.a. : l'intégrale est une aire algébrique.

\(f\) est continue et négative sur \([0\,;3]\), et l'aire entre sa courbe et l'axe vaut 5 u.a. Que vaut \(\int_0^3 f(x)\,\mathrm{d}x\) ?

\(-5\)
\(5\)
\(0\)

Pour une fonction négative, l'intégrale est l'opposé de l'aire : \(-5\).

5. Le lien avec les primitives

Si \(f\) est continue sur un intervalle \(I\) contenant \(a\), la fonction « aire accumulée »

\[F(x) = \int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t\]

est l'unique primitive de \(f\) sur \(I\) qui s'annule en \(a\). Conséquence : pour toute primitive \(G\) de \(f\),

\[\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = \Big[G(x)\Big]_a^b = G(b) - G(a)\]

Fais varier \(a\) : la parabole est \(f(x) = a x^2\), l'autre courbe est \(F(x) = \frac{a x^3}{3}\), l'aire sous la parabole entre 0 et \(x\). Pour \(a = 1\), lis \(F(1)\) : on retrouve \(\frac13\).

Exemple résolu 5 : vérifier les résultats précédents

\(G(x) = \frac{x^3}{3}\) est une primitive de \(x^2\) : \(\displaystyle\int_0^1 x^2\,\mathrm{d}x = \frac{1}{3} - 0 = \frac13\). C'est bien la limite trouvée avec les rectangles.

\(G(x) = \frac{x^2}{2} + x\) est une primitive de \(x + 1\) : \[\int_1^3 (x+1)\,\mathrm{d}x = \left(\tfrac92 + 3\right) - \left(\tfrac12 + 1\right) = 7{,}5 - 1{,}5 = 6\] On retrouve l'aire du trapèze.

Exemple résolu 6 : l'aire du champ

Dans un repère où 1 unité représente 10 m sur chaque axe, un champ est limité par l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la courbe de \(f(x) = 4 - \frac{x^2}{4}\) pour \(x \in [0\,;4]\). Calcule son aire en \(\mathrm{m^2}\). Cherche d'abord.

Voir la solution

\(f\) est continue et positive sur \([0\,;4]\) (\(f(4) = 0\)). Une primitive est \(G(x) = 4x - \frac{x^3}{12}\).

\[\int_0^4 \left(4 - \frac{x^2}{4}\right)\mathrm{d}x = \left(16 - \frac{64}{12}\right) - 0 = 16 - \frac{16}{3} = \frac{32}{3} \ \text{u.a.}\]

Ici \(1\ \text{u.a.} = 10\ \mathrm{m} \times 10\ \mathrm{m} = 100\ \mathrm{m^2}\), donc l'aire vaut \(\frac{3200}{3} \approx 1067\ \mathrm{m^2}\).

Que vaut \(\displaystyle\int_0^2 3x^2\,\mathrm{d}x\) ?

\(12\)
\(8\)
\(6\)

Une primitive de \(3x^2\) est \(x^3\) : \(2^3 - 0^3 = 8\).

Erreurs fréquentes

Oublier de vérifier le signe de \(f\) avant de parler d'aire.
Donner une aire négative : une aire est toujours positive, c'est l'intégrale qui peut l'être.
Oublier de convertir les unités d'aire en \(\mathrm{cm^2}\) ou \(\mathrm{m^2}\) quand l'énoncé le demande.
Calculer \(G(a) - G(b)\) au lieu de \(G(b) - G(a)\).
Utiliser la méthode des rectangles sans tenir compte du sens de variation de \(f\).

Récapitulatif

Pour \(f\) continue et positive sur \([a\,;b]\) : \(\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x\) est l'aire sous la courbe, en u.a.
L'unité d'aire est l'aire du rectangle construit sur les unités des axes.
Les sommes de rectangles encadrent l'intégrale et s'en rapprochent quand les bandes s'affinent.
Pour \(f\) négative, l'intégrale est l'opposé de l'aire ; en général c'est une aire algébrique.
Chasles, positivité, \(\int_a^a f = 0\), \(\int_b^a f = -\int_a^b f\).
\(\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = G(b) - G(a)\) pour toute primitive \(G\) de \(f\).

Unité d'aire

Aire du rectangle construit sur les vecteurs unités \(OI\) et \(OJ\).

Intégrale d'une fonction positive

Aire du domaine \(a \leq x \leq b\), \(0 \leq y \leq f(x)\), en u.a.

Méthode des rectangles

Encadrer l'aire par des sommes de rectangles de plus en plus fins.

Fonction négative

L'intégrale vaut l'opposé de l'aire.

Relation de Chasles

\(\int_a^c f + \int_c^b f = \int_a^b f\)

Lien avec les primitives

\(\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = G(b) - G(a)\)