Objectifs

• Connaître la définition vectorielle du barycentre de deux points pondérés et sa condition d'existence.
• Construire le barycentre de deux points grâce à la relation \(\overrightarrow{AG} = \dfrac{b}{a+b}\overrightarrow{AB}\).
• Utiliser les propriétés de base : homogénéité, isobarycentre, position sur la droite \((AB)\), réduction de \(a\overrightarrow{MA} + b\overrightarrow{MB}\).
• Calculer les coordonnées d'un barycentre et étendre la définition à trois points.

1. Le barycentre de deux points

Un point pondéré \((A\,;\,a)\) est un point \(A\) associé à un nombre réel \(a\), appelé coefficient ou poids.

Pourquoi \(G\) existe et où il se trouve

On fait apparaître \(A\) dans \(\overrightarrow{GB}\) grâce à la relation de Chasles, puis on isole \(\overrightarrow{AG}\). Déroule le raisonnement :

Construire le barycentre : exemple de \(\{(A\,;\,2)\,,\,(B\,;\,1)\}\)

Ici \(\overrightarrow{AG} = \dfrac{1}{2+1}\,\overrightarrow{AB} = \dfrac{1}{3}\,\overrightarrow{AB}\). Suis la construction :

Exemple résolu 1 : le pivot de la balançoire

La planche mesure \(AB = 5\ \text{m}\). Ama (30 kg) est assise en \(A\), Kwame (20 kg) en \(B\). Où placer le pivot \(G\) ? Cherche d'abord !

2. Propriétés de base

• Homogénéité : pour tout réel \(k \neq 0\), le barycentre de \(\{(A\,;\,ka)\,,\,(B\,;\,kb)\}\) est le même que celui de \(\{(A\,;\,a)\,,\,(B\,;\,b)\}\). On peut donc simplifier les poids : \(\{(A\,;\,30)\,,\,(B\,;\,20)\}\) a le même barycentre que \(\{(A\,;\,3)\,,\,(B\,;\,2)\}\).
• Isobarycentre : si \(a = b\) (non nuls), \(\overrightarrow{AG} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}\) : le barycentre est le milieu de \([AB]\).
• Position : \(G\) est sur la droite \((AB)\). Si \(a\) et \(b\) sont de même signe, \(G\) est sur le segment \([AB]\), plus près du point de plus grand poids (en valeur absolue). Si \(a\) et \(b\) sont de signes contraires, \(G\) est en dehors du segment, du côté du point de plus grand poids en valeur absolue.
• Réduction : pour tout point \(M\), \[a\,\overrightarrow{MA} + b\,\overrightarrow{MB} = (a+b)\,\overrightarrow{MG}.\] Cette égalité transforme une somme de deux vecteurs en un seul vecteur.

Voir le barycentre se déplacer

On place \(A\) à l'abscisse 0 et \(B\) à l'abscisse 6. Le poids de \(A\) est le curseur \(a\) ; en abscisse, on fait varier le poids \(b\) de \(B\). La courbe donne l'abscisse de \(G\), égale à \(\dfrac{6b}{a+b}\). Bouge le curseur et observe : plus \(b\) grandit, plus \(G\) s'approche de \(B\) (la droite horizontale d'ordonnée 6), sans jamais l'atteindre.

Exemple résolu 2 : poids de signes contraires

Construis le barycentre \(G\) de \(\{(A\,;\,2)\,,\,(B\,;\,-1)\}\). Cherche d'abord !

3. Coordonnées et barycentre de trois points

Coordonnées du barycentre de deux points

Dans un repère, si \(A(x_A\,;\,y_A)\), \(B(x_B\,;\,y_B)\) et \(a + b \neq 0\), le barycentre \(G\) a pour coordonnées :

C'est une moyenne pondérée des coordonnées, comme une moyenne de notes avec coefficients.

Barycentre de trois points

Si \(a + b + c \neq 0\), le barycentre de \(\{(A\,;\,a)\,,\,(B\,;\,b)\,,\,(C\,;\,c)\}\) est l'unique point \(G\) tel que

L'isobarycentre de trois points \(A\), \(B\), \(C\) non alignés (poids égaux) est le centre de gravité du triangle \(ABC\).

Exemple résolu 3 : calculer des coordonnées

On donne \(A(1\,;\,2)\) et \(B(7\,;\,-1)\). Calcule les coordonnées du barycentre \(G\) de \(\{(A\,;\,1)\,,\,(B\,;\,2)\}\).

Erreurs fréquentes

• Oublier de vérifier que la somme des poids n'est pas nulle.
• Se tromper de coefficient : dans \(\overrightarrow{AG} = \dfrac{b}{a+b}\overrightarrow{AB}\), c'est le poids de \(B\) qui est au numérateur.
• Placer \(G\) près du point le plus léger : le barycentre est attiré par le point le plus lourd.
• Croire que \(G\) est toujours entre \(A\) et \(B\) : avec des poids de signes contraires, il est à l'extérieur du segment.
• Diviser par 2 au lieu de \(a+b\) dans le calcul des coordonnées.

Récapitulatif

• Si \(a + b \neq 0\), le barycentre \(G\) de \(\{(A\,;\,a)\,,\,(B\,;\,b)\}\) est l'unique point tel que \(a\,\overrightarrow{GA} + b\,\overrightarrow{GB} = \vec{0}\).
• Construction : \(\overrightarrow{AG} = \dfrac{b}{a+b}\overrightarrow{AB}\) ; \(G\) est sur \((AB)\), attiré par le point le plus lourd.
• Homogénéité, isobarycentre = milieu, réduction \(a\,\overrightarrow{MA} + b\,\overrightarrow{MB} = (a+b)\,\overrightarrow{MG}\).
• Coordonnées : moyennes pondérées des coordonnées ; même idée pour trois points.