Racine carrée : définition et notations

La racine carrée d'un nombre positif \(a\), notée \(\sqrt{a}\), est le nombre positif dont le carré vaut \(a\) : c'est l'opération qui « défait » le carré.

Objectifs

Comprendre et écrire la définition de la racine carrée d'un nombre positif.
Utiliser correctement le symbole \(\sqrt{\phantom{a}}\) (le radical).
Savoir qu'une racine carrée est toujours positive ou nulle et qu'un nombre négatif n'a pas de racine carrée.
Utiliser les relations \((\sqrt{a})^2 = a\) et \(\sqrt{a^2} = |a|\).

1. Qu'est-ce qu'une racine carrée ?

Le carré d'un nombre, c'est ce nombre multiplié par lui-même : \(7^2 = 7 \times 7 = 49\). La racine carrée fait le chemin inverse : on part de 49 et on retrouve 7.

Vocabulaire et notation. Le symbole \(\sqrt{\phantom{a}}\) s'appelle le radical. Le nombre écrit sous la barre est le radicande. La barre du radical doit couvrir tout le nombre (ou toute l'expression) dont on prend la racine : \(\sqrt{9+16}\) n'est pas la même chose que \(\sqrt{9}+16\).

Quelques racines carrées à connaître (ce sont les carrés parfaits) :

\[ \sqrt{0}=0 \quad \sqrt{1}=1 \quad \sqrt{4}=2 \quad \sqrt{9}=3 \quad \sqrt{16}=4 \quad \sqrt{25}=5 \quad \sqrt{36}=6 \quad \sqrt{49}=7 \quad \sqrt{64}=8 \quad \sqrt{81}=9 \quad \sqrt{100}=10 \quad \sqrt{121}=11 \quad \sqrt{144}=12 \]

Beaucoup de racines carrées ne « tombent pas juste ». Par exemple \(\sqrt{2}\) est le nombre positif dont le carré vaut 2 : il existe, mais son écriture décimale ne s'arrête jamais (\(\sqrt{2} \approx 1{,}414\)). On le laisse alors souvent écrit sous la forme \(\sqrt{2}\), qui est sa valeur exacte.

Manipule : la courbe de la racine carrée

La courbe ci-dessous représente \(y = \sqrt{x}\). Déplace le curseur \(k\) : la droite horizontale \(y = k\) coupe la courbe au point d'abscisse \(x = k^2\). Par exemple, pour \(k = 3\), la droite coupe la courbe en \(x = 9\), car \(\sqrt{9} = 3\). Remarque aussi que la courbe n'existe pas pour \(x\) négatif.

Le sol d'une case carrée à Korhogo a une aire de 64 m². Combien mesure un côté ?

32 m
16 m
8 m

Le côté est \(\sqrt{64}\), le nombre positif dont le carré vaut 64. Comme \(8 \times 8 = 64\), le côté mesure 8 m. Diviser par 2 (32 m) est une erreur : \(32 \times 32 = 1024\).

2. Le signe d'une racine carrée

Les deux nombres dont le carré vaut 49 sont donc \(7\) et \(-7\), c'est-à-dire \(\sqrt{49}\) et \(-\sqrt{49}\). Plus généralement, pour \(a > 0\), l'équation \(x^2 = a\) a deux solutions : \(\sqrt{a}\) et \(-\sqrt{a}\).

Laquelle de ces écritures n'a pas de sens ?

\(-\sqrt{16}\)
\(\sqrt{-16}\)
\(\sqrt{0}\)

\(\sqrt{-16}\) n'existe pas, car aucun carré n'est égal à \(-16\). En revanche \(-\sqrt{16} = -4\) et \(\sqrt{0} = 0\).

3. Racine carrée et carré : les propriétés de base

Propriété 1 : la racine, puis le carré

Propriété 2 : le carré, puis la racine

Si \(a\) est positif, \(\sqrt{a^2} = a\). Par exemple \(\sqrt{6^2} = \sqrt{36} = 6\).

Mais si \(a\) est négatif ? Prenons \(a = -6\) : \(\sqrt{(-6)^2} = \sqrt{36} = 6\). On ne retrouve pas \(-6\), mais son opposé \(6\), car une racine carrée est toujours positive.

Exemples résolus

Exemple 1. Calculer \(A = \left(\sqrt{7}\right)^2 + \sqrt{(-4)^2} - \sqrt{25}\). Cherche d'abord, puis dévoile les étapes.

D'après la propriété 1 : \(\left(\sqrt{7}\right)^2 = 7\).

D'après la propriété 2 : \(\sqrt{(-4)^2} = \sqrt{16} = 4\) (et non \(-4\) !).

\(\sqrt{25} = 5\), car \(5^2 = 25\) et \(5 \geq 0\).

Donc \(A = 7 + 4 - 5 = 6\).

Exemple 2. Résoudre l'équation \(x^2 = 81\).

Voir la solution

On cherche les nombres dont le carré vaut 81. Il y en a deux : \(\sqrt{81} = 9\) et \(-\sqrt{81} = -9\).

\[ x^2 = 81 \iff x = 9 \ \text{ou} \ x = -9 \]

Vérification : \(9^2 = 81\) et \((-9)^2 = 81\).

Exemple 3. L'équation \(x^2 = -4\) a-t-elle des solutions ?

Voir la solution

Non. Un carré est toujours positif ou nul, il ne peut donc pas être égal à \(-4\). L'équation n'a aucune solution.

Exemple 4. Calculer \(B = \sqrt{3^2 + 4^2}\) et comparer avec \(\sqrt{3^2} + \sqrt{4^2}\).

On calcule d'abord sous le radical : \(3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25\).

Donc \(B = \sqrt{25} = 5\).

Or \(\sqrt{3^2} + \sqrt{4^2} = 3 + 4 = 7\).

Conclusion : \(5 \neq 7\). On ne peut pas « couper » une racine carrée sur une somme.

Que vaut \(\sqrt{(-10)^2}\) ?

\(10\)
\(-10\)
Cela n'existe pas

\((-10)^2 = 100\), qui est positif, donc la racine existe : \(\sqrt{100} = 10\). Une racine carrée n'est jamais négative, c'est pourquoi \(\sqrt{a^2} = |a|\).

Que vaut \(\left(\sqrt{11}\right)^2\) ?

\(121\)
\(11\)
\(22\)

Pour \(a \geq 0\), \(\left(\sqrt{a}\right)^2 = a\). Donc \(\left(\sqrt{11}\right)^2 = 11\).

Erreurs fréquentes

Récapitulatif

Pour \(a \geq 0\), \(\sqrt{a}\) est le nombre positif ou nul dont le carré vaut \(a\).
\(\sqrt{a} \geq 0\) ; un nombre négatif n'a pas de racine carrée.
\(\left(\sqrt{a}\right)^2 = a\) pour \(a \geq 0\) ; \(\sqrt{a^2} = |a|\) pour tout nombre \(a\).
Pour \(a > 0\), l'équation \(x^2 = a\) a deux solutions : \(\sqrt{a}\) et \(-\sqrt{a}\).

Cartes mémo

Définition de \(\sqrt{a}\)

Pour \(a \geq 0\), le nombre positif ou nul dont le carré vaut \(a\).

Signe d'une racine carrée

Toujours positive ou nulle ; \(\sqrt{-4}\) n'existe pas.

\(\left(\sqrt{a}\right)^2\)

Égal à \(a\), pour tout \(a \geq 0\).

\(\sqrt{a^2}\)

Égal à \(|a|\) : \(a\) si \(a \geq 0\), \(-a\) si \(a < 0\).

Solutions de \(x^2 = a\) (\(a > 0\))

\(\sqrt{a}\) et \(-\sqrt{a}\).