Les puissances pas à pas : de la multiplication répétée à l'écriture abrégée

Quand on multiplie plusieurs fois le même nombre par lui-même, on peut l'écrire en abrégé : \(2 \times 2 \times 2 = 2^3\), où 2 est la base et 3 l'exposant.

Objectifs

Passer, étape par étape, d'une multiplication répétée à l'écriture d'une puissance, et inversement.
Connaître le vocabulaire : base, exposant, « au carré », « au cube », « puissance ».
Lire à voix haute et calculer des puissances simples.
Ne plus confondre \(2^3\) avec \(2 \times 3\), ni \(2^3\) avec \(3^2\).

Notions clés

Étape 1 : repérer une multiplication répétée

Une multiplication répétée est un produit dans lequel tous les facteurs sont égaux. Par exemple :

\(3 \times 3 \times 3\) : trois facteurs égaux à 3 ;
\(5 \times 5\) : deux facteurs égaux à 5 ;
\(2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2\) : cinq facteurs égaux à 2.

En revanche, \(2 \times 3 \times 4\) n'est pas une multiplication répétée : les facteurs sont différents.

Étape 2 : écrire en abrégé avec une puissance

Si un nombre \(a\) est multiplié \(n\) fois par lui-même, on écrit :

\[ \underbrace{a \times a \times \cdots \times a}_{n \text{ facteurs}} = a^n \]

\(a\) s'appelle la base : c'est le nombre qui se répète ;
\(n\) s'appelle l'exposant : c'est le nombre de facteurs, écrit petit, en haut à droite de la base ;
\(a^n\) se lit « \(a\) puissance \(n\) » ou « \(a\) exposant \(n\) ».

Ainsi \(3 \times 3 \times 3 = 3^3\) : Mariam a \(3^3 = 27\) savons.

Étape 3 : lire « au carré » et « au cube »

Deux exposants ont un nom spécial :

l'exposant 2 : \(a^2\) se lit « \(a\) au carré », car c'est le nombre de carreaux d'un carré de côté \(a\) ;
l'exposant 3 : \(a^3\) se lit « \(a\) au cube », car c'est le nombre de petits cubes d'un cube d'arête \(a\).

Pour les autres exposants, on dit « puissance » : \(2^5\) se lit « 2 puissance 5 ». Enfin, avec un seul facteur, \(a^1 = a\) : par exemple \(7^1 = 7\).

Étape 1 : on pose une rangée de 3 carreaux, le côté du carré mesure 3.

Étape 2 : on empile 3 rangées identiques pour obtenir un carré de 3 sur 3.

Étape 3 : on compte \(3 \times 3 = 9\) carreaux : c'est pourquoi \(3^2\) se lit « 3 au carré ».

Dans l'écriture \(4^3\), quelle est la base ?

La base est le nombre qui se répète, écrit en grand : 4. L'exposant 3 indique qu'on multiplie trois fois 4 : \(4^3 = 4 \times 4 \times 4\).

Comment écrire \(6 \times 6 \times 6 \times 6 \times 6\) sous forme de puissance ?

\(6^5\)
\(5^6\)
\(6 \times 5\)

Le nombre qui se répète est 6 (la base) et il y a 5 facteurs (l'exposant) : \(6^5\).

Exemples résolus

Exemple 1 : calculer \(5^3\)

Cherche d'abord, puis dévoile les étapes.

Étape 1 : on lit « 5 au cube » : la base est 5, l'exposant est 3.

Étape 2 : on écrit la multiplication répétée avec 3 facteurs : \(5^3 = 5 \times 5 \times 5\).

Étape 3 : on calcule de gauche à droite : \(5 \times 5 = 25\), puis \(25 \times 5 = 125\).

Conclusion : \(5^3 = 125\).

Exemple 2 : comparer \(2^3\) et \(2 \times 3\)

Fatou dit que \(2^3 = 6\). A-t-elle raison ?

Voir la solution

\[ 2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8 \qquad \text{alors que} \qquad 2 \times 3 = 6 \]

Fatou a tort : l'exposant 3 ne multiplie pas la base, il dit combien de fois la base apparaît comme facteur. \(2 \times 3\) est une addition répétée (\(2 + 2 + 2\)), \(2^3\) est une multiplication répétée.

Exemple 3 : comparer \(2^3\) et \(3^2\)

Ces deux nombres sont-ils égaux ?

Voir la solution

\begin{align} 2^3 &= 2 \times 2 \times 2 = 8 \\ 3^2 &= 3 \times 3 = 9 \end{align}

Non : \(8 \neq 9\). Échanger la base et l'exposant change en général le résultat.

Exemple 4 : les puissances de 10

Au Togo, un commerçant de Lomé compte en billets de 10 000 F CFA. Écris 10 000 comme une puissance de 10.

Étape 1 : \(10 \times 10 = 100\) ; \(10 \times 10 \times 10 = 1\,000\) ; \(10 \times 10 \times 10 \times 10 = 10\,000\).

Étape 2 : il faut 4 facteurs 10 pour obtenir 10 000, donc \(10\,000 = 10^4\).

Astuce : l'exposant de 10 est égal au nombre de zéros : \(10^4\) s'écrit 1 suivi de 4 zéros.

Exemple 5 : lire et écrire

Écris en chiffres : « sept puissance quatre », puis écris-le en produit.

Voir la solution

\[ 7^4 = 7 \times 7 \times 7 \times 7 = 2\,401 \]

Vérification : \(7 \times 7 = 49\), \(49 \times 7 = 343\), \(343 \times 7 = 2\,401\).

Combien vaut \(2^3\) ?

\(2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8\). La réponse 6 vient de l'erreur \(2 \times 3\), la réponse 9 de la confusion avec \(3^2\).

Combien vaut \(10^3\) ?

30
1 000
10 000

\(10^3 = 10 \times 10 \times 10 = 1\,000\) : 1 suivi de 3 zéros.

Quelle égalité est vraie ?

\(3^2 = 6\)
\(2^3 = 9\)
\(5^2 = 25\)

\(5^2 = 5 \times 5 = 25\). En revanche \(3^2 = 9\) et non 6, et \(2^3 = 8\) et non 9.

Erreurs fréquentes

Inverser base et exposant : \(2^3 = 8\) mais \(3^2 = 9\). La base est en grand, l'exposant en petit en haut à droite.
Mal compter les facteurs : dans \(5^3 = 5 \times 5 \times 5\), il y a 3 facteurs (mais seulement 2 signes \(\times\)). L'exposant compte les facteurs, pas les signes.
Écrire l'exposant à la même taille : « 23 » n'est pas \(2^3\). L'exposant s'écrit petit et surélevé.
Oublier un zéro avec les puissances de 10 : \(10^5 = 100\,000\) a bien 5 zéros.

Récapitulatif

Une puissance est l'écriture abrégée d'une multiplication répétée : \(a^n = a \times a \times \cdots \times a\) avec \(n\) facteurs.
\(a\) est la base, \(n\) est l'exposant.
\(a^2\) se lit « \(a\) au carré », \(a^3\) « \(a\) au cube », \(a^n\) « \(a\) puissance \(n\) ».
\(a^1 = a\) et \(10^n\) s'écrit 1 suivi de \(n\) zéros.
Attention : \(2^3 = 8\), alors que \(2 \times 3 = 6\) et \(3^2 = 9\).

Puissance

Écriture abrégée d'un produit de facteurs tous égaux : \(2 \times 2 \times 2 = 2^3\).

Base

Le nombre qui se répète, écrit en grand (dans \(4^3\), la base est 4).

Exposant

Le nombre de facteurs, écrit petit en haut à droite (dans \(4^3\), l'exposant est 3).

Au carré, au cube

Exposant 2 : au carré (\(5^2 = 25\)). Exposant 3 : au cube (\(5^3 = 125\)).

Puissance ou produit ?

\(2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8\), mais \(2 \times 3 = 6\).