Produit scalaire : définition par projection et par le cosinus

Le produit scalaire de deux vecteurs est un nombre qui mesure « combien un vecteur va dans la direction de l'autre » : on l'obtient avec l'ombre (la projection) d'un vecteur sur l'autre, ou avec les longueurs et le cosinus de l'angle.

Objectifs

Calculer un produit scalaire à l'aide d'une projection orthogonale.
Calculer un produit scalaire avec la formule du cosinus \(\vec{u}\cdot\vec{v}=\|\vec{u}\|\times\|\vec{v}\|\times\cos(\vec{u},\vec{v})\).
Prévoir le signe d'un produit scalaire selon l'angle (aigu, droit, obtus).
Reconnaître deux vecteurs orthogonaux grâce au produit scalaire nul.
Utiliser le produit scalaire pour trouver un angle.

1. L'idée : un nombre qui mesure « l'aide » d'un vecteur à un autre

À deux vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\), on associe un nombre réel noté \(\vec{u}\cdot\vec{v}\) (on lit « \(\vec{u}\) scalaire \(\vec{v}\) »). Attention : ce n'est pas un vecteur, c'est un nombre, qui peut être positif, négatif ou nul.

Le produit scalaire de deux vecteurs est…

un vecteur
un nombre réel
toujours un nombre positif

Le produit scalaire est un nombre réel (un « scalaire »). Il peut être négatif, par exemple quand l'angle entre les vecteurs est obtus.

2. Définition par la projection orthogonale

Soient trois points \(A\), \(B\), \(C\) avec \(A\neq B\). On note \(H\) le projeté orthogonal de \(C\) sur la droite \((AB)\) : c'est le pied de la perpendiculaire à \((AB)\) passant par \(C\).

On trace la perpendiculaire à (AB) passant par C : elle coupe (AB) en H, le projeté orthogonal de C.

Le segment [AH] est « l'ombre » de [AC] sur la droite (AB).

En résumé : on remplace \(\vec{AC}\) par son ombre \(\vec{AH}\) sur \((AB)\), puis on multiplie les longueurs, avec un signe « + » si l'ombre va dans le même sens que \(\vec{AB}\), « − » sinon.

Exemple résolu 1 : triangle équilatéral

\(ABC\) est un triangle équilatéral de côté \(4\) cm. Calcule \(\vec{AB}\cdot\vec{AC}\) par projection.

Voir la solution

Dans un triangle équilatéral, la hauteur issue de \(C\) est aussi la médiane : le projeté \(H\) de \(C\) sur \((AB)\) est le milieu de \([AB]\), donc \(AH=2\) cm.

\(\vec{AH}\) et \(\vec{AB}\) sont de même sens, donc le signe est « + ».

\[\vec{AB}\cdot\vec{AC}=AB\times AH=4\times 2=8.\]

Exemple résolu 2 : dans un carré

\(ABCD\) est un carré de côté \(3\). Calcule \(\vec{AB}\cdot\vec{AC}\), \(\vec{AB}\cdot\vec{AD}\) et \(\vec{AB}\cdot\vec{CD}\).

Voir la solution

Le projeté de \(C\) sur \((AB)\) est \(B\) (car \((BC)\perp(AB)\)). Donc \(\vec{AB}\cdot\vec{AC}=AB\times AB=3\times 3=9\).

Le projeté de \(D\) sur \((AB)\) est \(A\) (car \((AD)\perp(AB)\)). Donc \(\vec{AB}\cdot\vec{AD}=0\).

\(\vec{CD}=-\vec{AB}\) : même longueur, sens contraire. Donc \(\vec{AB}\cdot\vec{CD}=-AB\times AB=-9\).

\(AB=5\) et le projeté orthogonal de \(C\) sur \((AB)\) est le point \(H\) tel que \(AH=2\), avec \(H\) situé du côté opposé à \(B\) par rapport à \(A\). Que vaut \(\vec{AB}\cdot\vec{AC}\) ?

\(10\)
\(7\)
\(-10\)

L'ombre \(\vec{AH}\) va dans le sens contraire de \(\vec{AB}\) : on met un signe moins. \(\vec{AB}\cdot\vec{AC}=-5\times 2=-10\).

3. Définition avec le cosinus

Dans le triangle rectangle \(AHC\), on a \(AH=AC\times\cos\widehat{BAC}\) quand l'angle est aigu. En remplaçant dans la définition par projection, on obtient une formule qui marche dans tous les cas :

Joue avec le curseur : la courbe donne la valeur de \(\vec{u}\cdot\vec{v}\) en fonction de l'angle \(x\) (en radians, de \(0\) à \(\pi\)), pour des longueurs \(a=\|\vec{u}\|\) et \(b=\|\vec{v}\|\) que tu choisis.

Observe : la courbe est au-dessus de l'axe pour un angle aigu, coupe l'axe pour un angle droit (\(x=\frac{\pi}{2}\approx 1{,}57\)) et passe en dessous pour un angle obtus.

Signe du produit scalaire

Angle aigu (entre \(0^\circ\) et \(90^\circ\)) : \(\cos>0\), donc \(\vec{u}\cdot\vec{v}>0\).
Angle droit (\(90^\circ\)) : \(\cos 90^\circ=0\), donc \(\vec{u}\cdot\vec{v}=0\).
Angle obtus (entre \(90^\circ\) et \(180^\circ\)) : \(\cos<0\), donc \(\vec{u}\cdot\vec{v}<0\).

Cas particuliers à connaître

Vecteurs orthogonaux : \(\vec{u}\perp\vec{v}\iff\vec{u}\cdot\vec{v}=0\).
Même direction et même sens : \(\vec{u}\cdot\vec{v}=\|\vec{u}\|\times\|\vec{v}\|\) (car \(\cos 0=1\)).
Même direction et sens contraires : \(\vec{u}\cdot\vec{v}=-\|\vec{u}\|\times\|\vec{v}\|\) (car \(\cos\pi=-1\)).
Carré scalaire : \(\vec{u}\cdot\vec{u}=\|\vec{u}\|^2\), noté aussi \(\vec{u}^{\,2}\).

Exemple résolu 3 : avec un angle obtus

\(\|\vec{u}\|=5\), \(\|\vec{v}\|=4\) et \((\vec{u},\vec{v})=\frac{2\pi}{3}\) (soit \(120^\circ\)). Calcule \(\vec{u}\cdot\vec{v}\).

Voir la solution

On cherche le cosinus : \(\cos\frac{2\pi}{3}=-\frac{1}{2}\).

\[\vec{u}\cdot\vec{v}=5\times 4\times\left(-\frac{1}{2}\right)=-10.\]

Résultat négatif : c'est cohérent avec un angle obtus.

Exemple résolu 4 : vérifier le carré avec le cosinus

Reprends le carré \(ABCD\) de côté \(3\). Recalcule \(\vec{AB}\cdot\vec{AC}\) avec la formule du cosinus.

Voir la solution

La diagonale mesure \(AC=3\sqrt{2}\) et l'angle \(\widehat{BAC}\) vaut \(45^\circ\).

\[\vec{AB}\cdot\vec{AC}=3\times 3\sqrt{2}\times\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{9\times 2}{2}=9.\]

On retrouve bien \(9\), comme avec la projection : les deux définitions donnent le même nombre.

\(\|\vec{u}\|=6\), \(\|\vec{v}\|=2\) et \((\vec{u},\vec{v})=\frac{\pi}{3}\). Que vaut \(\vec{u}\cdot\vec{v}\) ?

\(6\)
\(12\)
\(6\sqrt{3}\)

\(\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}\), donc \(\vec{u}\cdot\vec{v}=6\times 2\times\frac{1}{2}=6\).

Deux vecteurs non nuls ont un produit scalaire égal à \(0\). Que peut-on dire ?

Ils sont colinéaires
Ils sont orthogonaux
Ils ont la même longueur

Si \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) ne sont pas nuls, \(\vec{u}\cdot\vec{v}=0\) impose \(\cos(\vec{u},\vec{v})=0\), donc un angle droit : les vecteurs sont orthogonaux.

4. Utiliser le produit scalaire

Trouver un angle

De la formule du cosinus, on tire, pour des vecteurs non nuls :

\[\cos(\vec{u},\vec{v})=\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{u}\|\times\|\vec{v}\|}\]

Exemple résolu 5. \(\vec{u}\cdot\vec{v}=6\), \(\|\vec{u}\|=3\), \(\|\vec{v}\|=4\). Trouve l'angle \((\vec{u},\vec{v})\) (entre \(0\) et \(\pi\)).

Cherche d'abord, puis vérifie

\[\cos(\vec{u},\vec{v})=\frac{6}{3\times 4}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}.\]

L'angle entre \(0\) et \(\pi\) dont le cosinus vaut \(\frac{1}{2}\) est \(\frac{\pi}{3}\), soit \(60^\circ\).

Le travail d'une force (lien avec la physique)

\(ABC\) est rectangle en \(B\), avec \(AB=4\) et \(BC=7\). Que vaut \(\vec{AB}\cdot\vec{AC}\) ?

\(28\)
\(0\)
\(16\)

Comme \((BC)\perp(AB)\), le projeté de \(C\) sur \((AB)\) est \(B\). Donc \(\vec{AB}\cdot\vec{AC}=AB\times AB=4\times 4=16\) : la longueur \(BC\) ne sert pas.

5. Erreurs fréquentes

Récapitulatif

\(\vec{AB}\cdot\vec{AC}=\pm AB\times AH\), où \(H\) est le projeté orthogonal de \(C\) sur \((AB)\) ; « + » si même sens, « − » sinon.
\(\vec{u}\cdot\vec{v}=\|\vec{u}\|\times\|\vec{v}\|\times\cos(\vec{u},\vec{v})\).
Angle aigu : positif ; angle droit : nul ; angle obtus : négatif.
\(\vec{u}\cdot\vec{u}=\|\vec{u}\|^2\) et \(\vec{u}\perp\vec{v}\iff\vec{u}\cdot\vec{v}=0\).

Projeté orthogonal

Pied de la perpendiculaire à une droite passant par un point : « l'ombre » du point sur la droite.

Définition par projection

\(\vec{AB}\cdot\vec{AC}=AB\times AH\) si même sens, \(-AB\times AH\) sinon.

Formule du cosinus

\(\vec{u}\cdot\vec{v}=\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\cos(\vec{u},\vec{v})\)

Signe du produit scalaire

Positif si angle aigu, nul si angle droit, négatif si angle obtus.

Orthogonalité

Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul.

Carré scalaire

\(\vec{u}\cdot\vec{u}=\|\vec{u}\|^2\)