La fonction exponentielle : définition par l'équation \( f' = f \) avec \( f(0) = 1 \)

La fonction exponentielle est l'unique fonction qui est sa propre dérivée et qui vaut 1 en 0 : en chaque point, sa pente est égale à sa hauteur.

Objectifs

Connaître la définition de la fonction exponentielle par \( f' = f \) et \( f(0) = 1 \).
Comprendre pourquoi elle ne s'annule jamais et pourquoi elle est unique.
Construire une approximation de la courbe avec la méthode d'Euler.
Utiliser les premières propriétés : \( \exp(0) = 1 \), \( \exp' = \exp \), \( \exp(x) > 0 \), \( \exp(a + b) = \exp(a)\exp(b) \), le nombre \( e \).

1. Une fonction égale à sa dérivée

Observe la courbe de \( \exp \) et sa tangente au point d'abscisse \( a \). Déplace \( a \) : la pente de la tangente vaut \( \exp'(a) = \exp(a) \), c'est-à-dire la hauteur du point. La tangente a pour équation \( y = \exp(a)(x - a) + \exp(a) \).

Quel est le coefficient directeur de la tangente à la courbe de \( \exp \) au point d'abscisse 0 ?

0
1
\( e \)

La pente est \( \exp'(0) = \exp(0) = 1 \). La tangente en 0 a pour équation \( y = x + 1 \).

2. Construire la courbe pas à pas : la méthode d'Euler

Pour un petit pas \( h \), la tangente donne l'approximation \( f(x + h) \approx f(x) + h f'(x) \). Comme \( f' = f \) : \[ f(x + h) \approx f(x) + h f(x) = (1 + h) f(x). \] En partant de \( f(0) = 1 \), on obtient de proche en proche \( f(h) \approx 1 + h \), \( f(2h) \approx (1 + h)^2 \), etc. Après \( n \) pas : \( f(nh) \approx (1 + h)^n \).

Pas 1 : en 0, la pente vaut f(0) = 1 ; on avance de 0,5 et on monte de 0,5 × 1 : on arrive à 1,5.

Pas 2 : la pente vaut maintenant 1,5 ; on monte de 0,5 × 1,5 = 0,75 : on arrive à 2,25.

La vraie courbe passe un peu au-dessus : exp(1) ≈ 2,718. Plus le pas est petit, meilleure est l'approximation.

Exemple résolu

Avec un pas \( h = 0{,}1 \), quelle valeur approchée de \( \exp(1) \) obtient-on ? Cherche d'abord.

Étape 1 : pour aller de 0 à 1 avec des pas de 0,1, il faut \( n = 10 \) pas.

Étape 2 : à chaque pas, la valeur est multipliée par \( 1 + h = 1{,}1 \).

Étape 3 : \( \exp(1) \approx 1{,}1^{10} \approx 2{,}594 \).

Comparaison : avec \( h = 0{,}5 \) on trouvait \( 1{,}5^2 = 2{,}25 \) ; avec \( h = 0{,}05 \), \( 1{,}05^{20} \approx 2{,}653 \). Les valeurs se rapprochent de \( \exp(1) \approx 2{,}718 \).

3. Premières propriétés

L'exponentielle ne s'annule jamais et est strictement positive

On pose \( \varphi(x) = \exp(x) \times \exp(-x) \). Cherche à dériver \( \varphi \) avant de dévoiler.

Étape 1 : la dérivée de \( x \mapsto \exp(-x) \) est \( -\exp'(-x) = -\exp(-x) \).

Étape 2 : par la formule \( (uv)' = u'v + uv' \) : \[ \varphi'(x) = \exp(x)\exp(-x) + \exp(x) \times \big(-\exp(-x)\big) = 0. \]

Étape 3 : \( \varphi \) est donc constante, et \( \varphi(0) = \exp(0) \times \exp(0) = 1 \). Ainsi \( \exp(x)\exp(-x) = 1 \) pour tout réel \( x \).

Conséquence : un produit égal à 1 ne peut pas contenir un facteur nul, donc \( \exp(x) \neq 0 \) et \[ \exp(-x) = \frac{1}{\exp(x)}. \] De plus, \( \exp \) ne s'annule pas, est continue et vaut 1 en 0 : elle ne change jamais de signe, donc \( \exp(x) > 0 \) pour tout \( x \).

Unicité

Supposons qu'une fonction \( g \) vérifie aussi \( g' = g \) et \( g(0) = 1 \). Comme \( \exp \) ne s'annule pas, on peut poser \( h = \dfrac{g}{\exp} \).

Voir la démonstration

\[ h' = \frac{g'\exp - g\exp'}{\exp^2} = \frac{g\exp - g\exp}{\exp^2} = 0. \]

Donc \( h \) est constante, et \( h(0) = \dfrac{g(0)}{\exp(0)} = 1 \). Ainsi \( g = \exp \) : il n'y a qu'une seule solution.

Sens de variation

\( \exp'(x) = \exp(x) > 0 \) : la fonction exponentielle est strictement croissante sur \( \mathbb{R} \).

Relation fonctionnelle et nombre \( e \)

Voir pourquoi \( \exp(a + b) = \exp(a)\exp(b) \)

On fixe \( b \) et on pose \( g(x) = \dfrac{\exp(x + b)}{\exp(b)} \). Alors \( g'(x) = \dfrac{\exp(x + b)}{\exp(b)} = g(x) \) et \( g(0) = \dfrac{\exp(b)}{\exp(b)} = 1 \). Par unicité, \( g = \exp \), donc \( \exp(x + b) = \exp(x)\exp(b) \) pour tout \( x \), en particulier pour \( x = a \).

Dérivée de \( x \mapsto e^{ax + b} \)

Pour des réels \( a \) et \( b \), la fonction \( x \mapsto e^{ax + b} \) est dérivable et \[ \left(e^{ax + b}\right)' = a\,e^{ax + b}. \] En particulier, \( x \mapsto e^{kx} \) vérifie \( f' = k f \) : elle modélise une croissance (\( k > 0 \)) ou une décroissance (\( k < 0 \)) proportionnelle à la quantité.

Exemple résolu

Dériver \( f(x) = 5e^{3x} \) et simplifier \( A = \dfrac{e^{5} \times e^{-2}}{e^{2}} \).

Voir la solution

\( f'(x) = 5 \times 3e^{3x} = 15e^{3x} \).

\( A = e^{5 + (-2) - 2} = e^{1} = e \approx 2{,}718 \).

Quelle est la dérivée de \( x \mapsto e^{-2x + 1} \) ?

\( e^{-2x + 1} \)
\( -2x\,e^{-2x + 1} \)
\( -2e^{-2x + 1} \)

\( (e^{ax+b})' = a\,e^{ax+b} \) avec \( a = -2 \) : on obtient \( -2e^{-2x+1} \).

Que vaut \( e^{2} \times e^{3} \) ?

\( e^{5} \)
\( e^{6} \)
\( 2e^{5} \)

\( e^a e^b = e^{a+b} \), donc \( e^2 \times e^3 = e^{5} \).

Erreurs fréquentes

Écrire \( \exp(a + b) = \exp(a) + \exp(b) \).
Oublier le facteur \( a \) en dérivant \( e^{ax+b} \).
Penser que \( e^x \) peut être nul ou négatif.
Confondre \( e^{-x} \) (qui vaut \( \dfrac{1}{e^x} \)) et \( -e^x \).

Récapitulatif

\( \exp \) est l'unique fonction dérivable sur \( \mathbb{R} \) telle que \( \exp' = \exp \) et \( \exp(0) = 1 \).
Pour tout \( x \) : \( \exp(x)\exp(-x) = 1 \), \( \exp(x) > 0 \) ; la fonction est strictement croissante.
\( \exp(a + b) = \exp(a)\exp(b) \) ; \( e = \exp(1) \approx 2{,}718 \) et \( \exp(x) = e^x \).
\( (e^{ax+b})' = a\,e^{ax+b} \).
Méthode d'Euler : \( f(x + h) \approx (1 + h)f(x) \), d'où \( \exp(1) \approx (1 + h)^n \) avec \( nh = 1 \).

Définition de exp

Unique fonction dérivable sur \( \mathbb{R} \) avec \( f' = f \) et \( f(0) = 1 \).

Signe de \( e^x \)

Toujours strictement positif : \( e^x > 0 \).

Relation fonctionnelle

\( e^{a+b} = e^a e^b \) et \( e^{-x} = \dfrac{1}{e^x} \).

Nombre \( e \)

\( e = \exp(1) \approx 2{,}718 \).

Dérivée de \( e^{ax+b} \)

\( a\,e^{ax+b} \)

Méthode d'Euler

\( f(x+h) \approx (1+h)f(x) \) : on suit la tangente sur un petit pas.