3èmeMathematiquesThéoréme de ThalèsDémonstration et contre‑exemples~4 min de lecture
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Les aires expliquent les rapports, et un contre-exemple montre le rôle précis des conditions.
Thalès : démonstration et contre-exemples
Objectifs
Suivre une preuve par les aires.
Comprendre une construction de la réciproque.
Tester la nécessité de l’ordre des points.
Une preuve par les aires dans un triangle
On démontre d’abord le cas où \(M\) et \(N\) sont strictement entre les extrémités des côtés du triangle \(ABC\), avec \((MN)\parallel(BC)\). On note \(\mathcal A(XYZ)\) l’aire du triangle \(XYZ\). Les triangles \(BMN\) et \(CMN\) ont la même base \(MN\) et la même hauteur, puisque \(B\) et \(C\) sont sur une parallèle à cette base. Leurs aires sont égales.
M est placé sur le côté AB et N sur le côté AC, dans un ordre cohérent à partir de A.
Le segment MN est parallèle à BC. Cette information est une hypothèse ; un dessin seul ne la prouve pas.
Comment obtenir \(AM/AB=AN/AC\) à partir de cette égalité d’aires ?
Voir la solution après avoir cherché
On ajoute l’aire \(\mathcal A(AMN)\) aux deux membres : \(\mathcal A(ABN)=\mathcal A(AMC)\).
Les triangles \(ABN\) et \(ABC\) ont leurs bases sur \((AC)\) et la même hauteur issue de \(B\), donc \(\frac{\mathcal A(ABN)}{\mathcal A(ABC)}=\frac{AN}{AC}\).
De même, les triangles \(AMC\) et \(ABC\) ont une même hauteur issue de \(C\), donc \(\frac{\mathcal A(AMC)}{\mathcal A(ABC)}=\frac{AM}{AB}\).
Les numérateurs étant égaux et l’aire du triangle non nulle, les rapports sont égaux.
Où le parallélisme est-il utilisé dans la preuve ?
Pour garantir l’égalité des hauteurs depuis B et C jusqu’à MN
Pour dire que toutes les longueurs sont égales
Pour supprimer le sommet A
Même base et hauteurs égales donnent des aires égales.
Compléter l’égalité et justifier la réciproque
Pour obtenir le troisième rapport dans la configuration précédente, on trace par \(M\) la parallèle à \((AC)\), qui coupe \([BC]\) en \(P\). Le quadrilatère \(MNCP\) est un parallélogramme, donc \(MN=PC\). Appliquée au triangle \(BAC\), l’égalité de rapports déjà démontrée donne \(BM/BA=BP/BC\). Ainsi :
Pourquoi la réciproque est-elle vraie pour \(M\in]A,B[\) et \(N\in]A,C[\) si \(AM/AB=AN/AC\) ?
Voir la solution après avoir cherché
On trace par \(M\) la parallèle à \((BC)\), qui coupe \([AC]\) en \(N_0\).
Le théorème direct donne \(AN_0/AC=AM/AB\). Par hypothèse, ce rapport vaut aussi \(AN/AC\).
Comme \(AC\ne0\), on a \(AN_0=AN\). Sur la même demi-droite issue de \(A\), il existe un seul point à cette distance : \(N_0=N\).
La droite \((MN)\) est donc la parallèle construite à \((BC)\).
Pourquoi préciser que \(N\) et \(N_0\) sont sur la même demi-droite ?
Une même distance à A peut aussi être portée de l’autre côté de A
Pour imposer une unité de longueur différente
Pour éviter d’utiliser les rapports
L’unicité d’un point à une distance donnée vaut sur une demi-droite choisie.
Un contre-exemple teste une hypothèse
Contre-exemple construit avec des coordonnées : \(A(0,0)\), \(B(4,0)\), \(C(0,4)\), \(M(2,0)\), \(N(0,-2)\). On a \(AM/AB=AN/AC=1/2\), mais l’ordre des points sur les deux droites ne correspond pas.
Comment vérifier que les droites ne sont pas parallèles sans se fier seulement au dessin ?
Voir la solution après avoir cherché
La droite \((BC)\) a pour équation \(y=-x+4\) ; elle passe bien par \(B\) et \(C\).
La droite \((MN)\) a pour équation \(y=x-2\) ; elle passe par \(M\) et \(N\).
Elles se coupent en \((3,1)\) : ce ne sont pas des droites parallèles.
L’égalité des rapports non orientés ne suffit donc pas lorsque les conditions de position sont supprimées.
Que réfute ce contre-exemple ?
Le théorème de Thalès correctement énoncé
Une fausse réciproque qui oublie l’ordre des points
Un contre-exemple hors des hypothèses ne réfute pas le théorème ; il montre pourquoi ces hypothèses sont nécessaires.
Erreurs fréquentes
Récapitulatif
Relier chaque étape à son hypothèse permet de distinguer une démonstration d’un simple dessin ou d’une égalité isolée.
Cartes mémo : cherche avant de retourner
Aires égales
Même base et même hauteur impliquent même aire.
Rôle du parallélisme
Il impose l’égalité des hauteurs dans la preuve.
Réciproque
Construire une parallèle puis utiliser l’unicité sur une demi-droite.
Contre-exemple
Un cas précis qui réfute une affirmation trop large.
Hypothèses
Conditions indispensables dont dépend une conclusion.
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